$R^n$ の部分空間の定義を述べ、与えられた $R^3$ の部分集合が $R^3$ の部分空間であるかどうかを判定する。

1. 問題の内容

$R^n$ の部分空間の定義を述べ、与えられた $R^3$ の部分集合が $R^3$ の部分空間であるかどうかを判定する。

2. 解き方の手順

まず、$R^n$ の部分空間の定義を述べる。

$R^n$ の部分集合 $W$ が $R^n$ の部分空間であるとは、以下の3つの条件を満たすことである。

1. 零ベクトル $\vec{0}$ が $W$ に含まれる。

2. 任意の $\vec{u}, \vec{v} \in W$ に対して、$\vec{u} + \vec{v} \in W$ （和について閉じている）。

3. 任意の $\vec{u} \in W$ とスカラー $c \in R$ に対して、$c\vec{u} \in W$ （スカラー倍について閉じている）。

次に、(i) の部分集合が $R^3$ の部分空間であるかどうかを判定する。

$W_1 = \{\begin{bmatrix} x+y \\ x^2 \\ 2z+3y \end{bmatrix} | x, y, z \in R \}$

零ベクトルが含まれるか確認する。$x=0, y=0, z=0$ のとき、$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \in W_1$ なので、条件1は満たす。

和について閉じているか確認する。$\vec{u} = \begin{bmatrix} x_1+y_1 \\ x_1^2 \\ 2z_1+3y_1 \end{bmatrix}, \vec{v} = \begin{bmatrix} x_2+y_2 \\ x_2^2 \\ 2z_2+3y_2 \end{bmatrix}$ を $W_1$ の任意の元とする。

$\vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} (x_1+y_1) + (x_2+y_2) \\ x_1^2 + x_2^2 \\ (2z_1+3y_1) + (2z_2+3y_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (x_1+x_2) + (y_1+y_2) \\ x_1^2 + x_2^2 \\ 2(z_1+z_2) + 3(y_1+y_2) \end{bmatrix}$

もし $x_1^2 + x_2^2$ が $(x_1+x_2)^2$ でない場合、$\vec{u}+\vec{v}$ は $W_1$ の元ではない。

例えば、 $x_1 = 1, x_2 = 1$ のとき、$x_1^2+x_2^2 = 1+1 = 2$ であるが、$(x_1+x_2)^2 = (1+1)^2 = 4$ となり異なる。

したがって、和について閉じていないため、$W_1$ は $R^3$ の部分空間ではない。

次に、(ii) の部分集合が $R^3$ の部分空間であるかどうかを判定する。

$W_2 = \{\begin{bmatrix} x+2y \\ x-3y+z \\ 2z-y \end{bmatrix} | x, y, z \in R \}$

零ベクトルが含まれるか確認する。$x=0, y=0, z=0$ のとき、$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \in W_2$ なので、条件1は満たす。

和について閉じているか確認する。$\vec{u} = \begin{bmatrix} x_1+2y_1 \\ x_1-3y_1+z_1 \\ 2z_1-y_1 \end{bmatrix}, \vec{v} = \begin{bmatrix} x_2+2y_2 \\ x_2-3y_2+z_2 \\ 2z_2-y_2 \end{bmatrix}$ を $W_2$ の任意の元とする。

$\vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} (x_1+2y_1) + (x_2+2y_2) \\ (x_1-3y_1+z_1) + (x_2-3y_2+z_2) \\ (2z_1-y_1) + (2z_2-y_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (x_1+x_2)+2(y_1+y_2) \\ (x_1+x_2)-3(y_1+y_2)+(z_1+z_2) \\ 2(z_1+z_2)-(y_1+y_2) \end{bmatrix}$

$x'=x_1+x_2, y'=y_1+y_2, z'=z_1+z_2$ とおくと、$\vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} x'+2y' \\ x'-3y'+z' \\ 2z'-y' \end{bmatrix}$ となり、$W_2$ の元である。よって和について閉じている。

スカラー倍について閉じているか確認する。$\vec{u} = \begin{bmatrix} x+2y \\ x-3y+z \\ 2z-y \end{bmatrix}$ を $W_2$ の任意の元とし、$c \in R$ を任意のスカラーとする。

$c\vec{u} = \begin{bmatrix} c(x+2y) \\ c(x-3y+z) \\ c(2z-y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cx+2cy \\ cx-3cy+cz \\ 2cz-cy \end{bmatrix}$

$x'=cx, y'=cy, z'=cz$ とおくと、$c\vec{u} = \begin{bmatrix} x'+2y' \\ x'-3y'+z' \\ 2z'-y' \end{bmatrix}$ となり、$W_2$ の元である。よってスカラー倍について閉じている。

したがって、$W_2$ は $R^3$ の部分空間である。

3. 最終的な答え

(i) $R^3$ の部分空間ではない。

(ii) $R^3$ の部分空間である。