問題は、線形写像の定義を述べ、与えられた2つの写像が線形写像であるかどうかを判定し、判定の根拠となる計算を示すことです。 (i) $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ が $f\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+y \\ xy+z \\ 2z+3y \end{bmatrix}$ で定義されるとき、この写像が線形写像かどうかを判定する。 (ii) $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ が $g\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+2y \\ x+y+3z \\ 2z+3y \end{bmatrix}$ で定義されるとき、この写像が線形写像かどうかを判定する。 線形写像の定義: 線形写像とは、ベクトル空間 $V$ からベクトル空間 $W$ への写像 $f: V \to W$ であって、以下の2つの条件を満たすものをいう。 (1) 任意のベクトル $u, v \in V$ に対して、$f(u+v) = f(u) + f(v)$ が成り立つ。 (2) 任意のスカラー $c$ と任意のベクトル $u \in V$ に対して、$f(cu) = cf(u)$ が成り立つ。

1. 問題の内容

問題は、線形写像の定義を述べ、与えられた2つの写像が線形写像であるかどうかを判定し、判定の根拠となる計算を示すことです。

(i) $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ が $f\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+y \\ xy+z \\ 2z+3y \end{bmatrix}$ で定義されるとき、この写像が線形写像かどうかを判定する。

(ii) $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ が $g\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+2y \\ x+y+3z \\ 2z+3y \end{bmatrix}$ で定義されるとき、この写像が線形写像かどうかを判定する。

線形写像の定義:

線形写像とは、ベクトル空間 $V$ からベクトル空間 $W$ への写像 $f: V \to W$ であって、以下の2つの条件を満たすものをいう。

(1) 任意のベクトル $u, v \in V$ に対して、$f(u+v) = f(u) + f(v)$ が成り立つ。

(2) 任意のスカラー $c$ と任意のベクトル $u \in V$ に対して、$f(cu) = cf(u)$ が成り立つ。

2. 解き方の手順

(i) 写像 $f$ が線形写像であるかどうかを調べる。

$f(0) = f\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0+0 \\ 0\cdot0+0 \\ 2\cdot0+3\cdot0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = 0$.

もし線形写像であれば、$f(cv) = cf(v)$が成り立つはずである。

$v = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$とすると、

$f(v) = f\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 \\ 1\cdot1+1 \\ 2\cdot1+3\cdot1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}$

$f(2v) = f\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+2 \\ 2\cdot2+2 \\ 2\cdot2+3\cdot2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \\ 10 \end{bmatrix}$

$2f(v) = 2\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \\ 10 \end{bmatrix}$

$f(2v) \neq 2f(v)$なので、線形写像ではない。あるいは、$f(u+v) = f(u) + f(v)$が成り立つか調べる。

$u = \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix}$と$v = \begin{bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{bmatrix}$とすると、

$f(u) = \begin{bmatrix} x_1+y_1 \\ x_1y_1+z_1 \\ 2z_1+3y_1 \end{bmatrix}$

$f(v) = \begin{bmatrix} x_2+y_2 \\ x_2y_2+z_2 \\ 2z_2+3y_2 \end{bmatrix}$

$f(u+v) = f\begin{bmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1+x_2+y_1+y_2 \\ (x_1+x_2)(y_1+y_2)+z_1+z_2 \\ 2(z_1+z_2)+3(y_1+y_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1+y_1+x_2+y_2 \\ x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_2+z_1+z_2 \\ 2z_1+3y_1+2z_2+3y_2 \end{bmatrix}$

$f(u)+f(v) = \begin{bmatrix} x_1+y_1+x_2+y_2 \\ x_1y_1+z_1+x_2y_2+z_2 \\ 2z_1+3y_1+2z_2+3y_2 \end{bmatrix}$

$f(u+v) \neq f(u)+f(v)$なので、線形写像ではない。

(ii) 写像 $g$ が線形写像であるかどうかを調べる。

$g(u+v) = g\begin{bmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1+x_2+2(y_1+y_2) \\ x_1+x_2+y_1+y_2+3(z_1+z_2) \\ 2(z_1+z_2)+3(y_1+y_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1+2y_1+x_2+2y_2 \\ x_1+y_1+3z_1+x_2+y_2+3z_2 \\ 2z_1+3y_1+2z_2+3y_2 \end{bmatrix}$

$g(u) = \begin{bmatrix} x_1+2y_1 \\ x_1+y_1+3z_1 \\ 2z_1+3y_1 \end{bmatrix}$

$g(v) = \begin{bmatrix} x_2+2y_2 \\ x_2+y_2+3z_2 \\ 2z_2+3y_2 \end{bmatrix}$

$g(u)+g(v) = \begin{bmatrix} x_1+2y_1+x_2+2y_2 \\ x_1+y_1+3z_1+x_2+y_2+3z_2 \\ 2z_1+3y_1+2z_2+3y_2 \end{bmatrix}$

$g(u+v) = g(u)+g(v)$.

$g(cu) = g\begin{bmatrix} cx \\ cy \\ cz \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cx+2cy \\ cx+cy+3cz \\ 2cz+3cy \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c(x+2y) \\ c(x+y+3z) \\ c(2z+3y) \end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} x+2y \\ x+y+3z \\ 2z+3y \end{bmatrix} = cg(u)$.

したがって、$g$は線形写像である。

3. 最終的な答え

線形写像であるとは: ベクトル空間 $V$ からベクトル空間 $W$ への写像 $f: V \to W$ であって、以下の2つの条件を満たすものをいう。

(1) 任意のベクトル $u, v \in V$ に対して、$f(u+v) = f(u) + f(v)$ が成り立つ。

(2) 任意のスカラー $c$ と任意のベクトル $u \in V$ に対して、$f(cu) = cf(u)$ が成り立つ。

(i) 線形写像{ではない}。

(ii) 線形写像{である}。