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与えられた3つの行列 $A$, $B$, $C$ の逆行列を、掃き出し法（吐き出し法）を用いて求めよ。ここで、$n$ と $a$ は定数である。 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & -2 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 3 & 4 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & a & 1 \end{bmatrix}$

代数学行列逆行列掃き出し法線形代数
2025/7/23

1. 問題の内容

与えられた3つの行列 AA, BB, CC の逆行列を、掃き出し法（吐き出し法）を用いて求めよ。ここで、nn と aa は定数である。
A=[11−121−12−2−2]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & -2 \end{bmatrix}, B=[1212222333223434]B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 3 & 4 \end{bmatrix}, C=[n0001a0a1]C = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & a & 1 \end{bmatrix}

2. 解き方の手順

**行列Aの逆行列を求める**
まず、AA に単位行列を付加した拡大行列を作成する。
[11−1∣10021−1∣0102−2−2∣001]\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & -2 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
(2行目) - 2 * (1行目), (3行目) - 2 * (1行目)
[11−1∣1000−11∣−2100−40∣−201]\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 0 & | & -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}
(2行目) * (-1)
[11−1∣10001−1∣2−100−40∣−201]\begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & 0 & | & -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}
(1行目) - (2行目), (3行目) + 4 * (2行目)
[100∣−11001−1∣2−1000−4∣6−41]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & | & 6 & -4 & 1 \end{bmatrix}
(3行目) * (-1/4)
[100∣−11001−1∣2−10001∣−3/21−1/4]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -3/2 & 1 & -1/4 \end{bmatrix}
(2行目) + (3行目)
[100∣−110010∣1/20−1/4001∣−3/21−1/4]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1/2 & 0 & -1/4 \\ 0 & 0 & 1 & | & -3/2 & 1 & -1/4 \end{bmatrix}
したがって、A−1=[−1101/20−1/4−3/21−1/4]A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 & -1/4 \\ -3/2 & 1 & -1/4 \end{bmatrix}
**行列Bの逆行列を求める**
まず、BB に単位行列を付加した拡大行列を作成する。
[1212∣10002223∣01003322∣00103434∣0001]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 3 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 2 & 2 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 3 & 4 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
(2行目) - 2 * (1行目), (3行目) - 3 * (1行目), (4行目) - 3 * (1行目)
[1212∣10000−20−1∣−21000−3−1−4∣−30100−20−2∣−3001]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & | & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -1 & -4 & | & -3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & -2 & | & -3 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
(2行目) * (-1/2)
[1212∣10000101/2∣1−1/2000−3−1−4∣−30100−20−2∣−3001]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & | & 1 & -1/2 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -1 & -4 & | & -3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & -2 & | & -3 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
(1行目) - 2 * (2行目), (3行目) + 3 * (2行目), (4行目) + 2 * (2行目)
[1011∣−11000101/2∣1−1/20000−1−5/2∣0−3/210000−1∣−1−101]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & | & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & | & 1 & -1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -5/2 & | & 0 & -3/2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & | & -1 & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}
(3行目) * (-1)
[1011∣−11000101/2∣1−1/2000015/2∣03/2−10000−1∣−1−101]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & | & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & | & 1 & -1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 5/2 & | & 0 & 3/2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & | & -1 & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}
(4行目) * (-1)
[1011∣−11000101/2∣1−1/2000015/2∣03/2−100001∣110−1]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & | & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & | & 1 & -1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 5/2 & | & 0 & 3/2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 & 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}
(1行目) - (4行目), (2行目) - (1/2) * (4行目), (3行目) - (5/2) * (4行目)
[1010∣−20010100∣1/2−101/20010∣−5/2−1−15/20001∣110−1]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & | & -2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 1/2 & -1 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & -5/2 & -1 & -1 & 5/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 & 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}
(1行目) - (3行目)
[1000∣1/211−3/20100∣1/2−101/20010∣−5/2−1−15/20001∣110−1]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & 1/2 & 1 & 1 & -3/2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 1/2 & -1 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & -5/2 & -1 & -1 & 5/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 & 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}
したがって、B−1=[1/211−3/21/2−101/2−5/2−1−15/2110−1]B^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1 & 1 & -3/2 \\ 1/2 & -1 & 0 & 1/2 \\ -5/2 & -1 & -1 & 5/2 \\ 1 & 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}
**行列Cの逆行列を求める**
まず、CC に単位行列を付加した拡大行列を作成する。
[n00∣10001a∣0100a1∣001]\begin{bmatrix} n & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
(1行目) * (1/n) (ただし n≠0n \neq 0)
[100∣1/n0001a∣0100a1∣001]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1/n & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
(3行目) - a * (2行目)
[100∣1/n0001a∣010001−a2∣0−a1]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1/n & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 - a^2 & | & 0 & -a & 1 \end{bmatrix}
(3行目) * (1/(1 - a^2)) (ただし a2≠1a^2 \neq 1)
[100∣1/n0001a∣010001∣0−a/(1−a2)1/(1−a2)]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1/n & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & -a/(1-a^2) & 1/(1-a^2) \end{bmatrix}
(2行目) - a * (3行目)
[100∣1/n00010∣01−a2/(1−a2)−a/(1−a2)001∣0−a/(1−a2)1/(1−a2)]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1/n & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 - a^2/(1-a^2) & -a/(1-a^2) \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & -a/(1-a^2) & 1/(1-a^2) \end{bmatrix}
[100∣1/n00010∣01/(1−a2)−a/(1−a2)001∣0−a/(1−a2)1/(1−a2)]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1/n & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1/(1-a^2) & -a/(1-a^2) \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & -a/(1-a^2) & 1/(1-a^2) \end{bmatrix}
したがって、C−1=[1/n0001/(1−a2)−a/(1−a2)0−a/(1−a2)1/(1−a2)]C^{-1} = \begin{bmatrix} 1/n & 0 & 0 \\ 0 & 1/(1-a^2) & -a/(1-a^2) \\ 0 & -a/(1-a^2) & 1/(1-a^2) \end{bmatrix}
(n≠0n \neq 0, a2≠1a^2 \neq 1)

3. 最終的な答え

A−1=[−1101/20−1/4−3/21−1/4]A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 & -1/4 \\ -3/2 & 1 & -1/4 \end{bmatrix}
B−1=[1/211−3/21/2−101/2−5/2−1−15/2110−1]B^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1 & 1 & -3/2 \\ 1/2 & -1 & 0 & 1/2 \\ -5/2 & -1 & -1 & 5/2 \\ 1 & 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}
C−1=[1/n0001/(1−a2)−a/(1−a2)0−a/(1−a2)1/(1−a2)]C^{-1} = \begin{bmatrix} 1/n & 0 & 0 \\ 0 & 1/(1-a^2) & -a/(1-a^2) \\ 0 & -a/(1-a^2) & 1/(1-a^2) \end{bmatrix} (n≠0n \neq 0, a2≠1a^2 \neq 1)

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