数列 $3, 12, 25, 42, 63, ...$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。 ただし、$a_n = \text{ヌ}n^2 + \text{ネ}n - \text{ノ}$ の形式で表す必要があります。

1. 問題の内容

数列 $3, 12, 25, 42, 63, ...$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

ただし、$a_n = \text{ヌ}n^2 + \text{ネ}n - \text{ノ}$ の形式で表す必要があります。

2. 解き方の手順

この数列の階差数列を考えることで、一般項を求めます。

まず、与えられた数列の隣り合う項の差を計算します。

$12-3=9$

$25-12=13$

$42-25=17$

$63-42=21$

得られた階差数列は、$9, 13, 17, 21, ...$ となります。

この階差数列は等差数列であり、公差は$13-9 = 17-13 = 21-17 = 4$です。

階差数列が等差数列であることから、元の数列 $a_n$ は $n$ の2次式で表されると考えられます。

したがって、$a_n = An^2 + Bn + C$ と仮定し、$n=1, 2, 3$ のときの値を代入して連立方程式を作ります。

$n=1$ のとき、$a_1 = A(1)^2 + B(1) + C = A + B + C = 3$

$n=2$ のとき、$a_2 = A(2)^2 + B(2) + C = 4A + 2B + C = 12$

$n=3$ のとき、$a_3 = A(3)^2 + B(3) + C = 9A + 3B + C = 25$

これらの式から、$A, B, C$ を求めます。

まず、$4A + 2B + C = 12$ から $A + B + C = 3$ を引くと、

$3A + B = 9$ (1)

次に、$9A + 3B + C = 25$ から $4A + 2B + C = 12$ を引くと、

$5A + B = 13$ (2)

(2) から (1) を引くと、

$2A = 4$

$A = 2$

(1) に $A=2$ を代入すると、

$3(2) + B = 9$

$6 + B = 9$

$B = 3$

$A + B + C = 3$ に $A=2, B=3$ を代入すると、

$2 + 3 + C = 3$

$5 + C = 3$

$C = -2$

よって、$a_n = 2n^2 + 3n - 2$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n^2 + 3n - 2$