数列 $1 \cdot 3, 2 \cdot 5, 3 \cdot 7, 4 \cdot 9, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求め、与えられた式 $\frac{1}{6}n(n+\boxed{ト})(\boxed{ナ}n+\boxed{ニ})$ の $\boxed{ト}$, $\boxed{ナ}$, $\boxed{ニ}$ に当てはまる数字を答える。

1. 問題の内容

数列 $1 \cdot 3, 2 \cdot 5, 3 \cdot 7, 4 \cdot 9, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求め、与えられた式 $\frac{1}{6}n(n+\boxed{ト})(\boxed{ナ}n+\boxed{ニ})$ の $\boxed{ト}$, $\boxed{ナ}$, $\boxed{ニ}$ に当てはまる数字を答える。

2. 解き方の手順

与えられた数列の第 $k$ 項を $a_k$ とすると、

$a_k = k(2k+1) = 2k^2 + k$

したがって、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

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S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 + k) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k

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ここで、

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\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}

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\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

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であるから、

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S_n = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2}

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= \frac{n(n+1)}{6} \{2(2n+1) + 3\} = \frac{n(n+1)}{6} (4n+5) = \frac{1}{6} n(n+1)(4n+5)

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与えられた式 $\frac{1}{6}n(n+\boxed{ト})(\boxed{ナ}n+\boxed{ニ})$ と比較すると、$\boxed{ト}=1$, $\boxed{ナ}=4$, $\boxed{ニ}=5$ となる。

3. 最終的な答え

ト = 1

ナ = 4

ニ = 5