行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ で定まる1次変換を $f$ とするとき、以下の問に答えます。 (1) 点 $P(1,1)$ の $f$ による像を求めます。 (2) 直線 $x-y=0$ の $f$ による像を求めます。 (3) 零ベクトル $\vec{0}$ の $f$ による逆像を求めます。 (4) $f$ が1対1対応（全単射）であるかどうかを判定します。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ で定まる1次変換を $f$ とするとき、以下の問に答えます。

(1) 点 $P(1,1)$ の $f$ による像を求めます。

(2) 直線 $x-y=0$ の $f$ による像を求めます。

(3) 零ベクトル $\vec{0}$ の $f$ による逆像を求めます。

(4) $f$ が1対1対応（全単射）であるかどうかを判定します。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P(1,1)$ の像

点 $P(1,1)$ をベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ とみなします。

$f$ による像は、行列 $A$ を掛けることで得られます。

$\begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 9 \\ 2 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}$

(2) 直線 $x-y=0$ の像

直線 $x-y=0$ 上の点を $\begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix}$ とおきます。

この点の $f$ による像は、

$\begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6t - 9t \\ 2t - 3t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3t \\ -t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}$

これは、原点を通る直線を表します。この直線の式は、$y = \frac{1}{3}x$ です。

(3) 零ベクトルの逆像

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ が零ベクトルの逆像であるとは、$A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を満たすことです。

つまり、

$\begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この連立方程式は、

$6x - 9y = 0$

$2x - 3y = 0$

これは、$2x = 3y$ を意味します。したがって、$x = \frac{3}{2}y$ です。

$y = 2t$ とすると、$x = 3t$ となります。

よって、逆像は $\begin{pmatrix} 3t \\ 2t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ であり、これは原点を通る直線 $2x - 3y = 0$ を表します。

(4) $f$ が1対1対応かどうかの判定

行列 $A$ の行列式を計算します。

$\det(A) = (6)(-3) - (-9)(2) = -18 + 18 = 0$

行列式が0であるため、$A$ は正則行列ではありません。

したがって、$f$ は1対1対応ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 点 $P(1,1)$ の像: $\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}$

(2) 直線 $x-y=0$ の像: 直線 $y = \frac{1}{3}x$

(3) 零ベクトルの逆像: 直線 $2x - 3y = 0$

(4) $f$ は1対1対応ではない。