次の不等式をグラフを利用して解けという問題です。 $|x-1|+2|x| \le 3$

1. 問題の内容

次の不等式をグラフを利用して解けという問題です。

$|x-1|+2|x| \le 3$

2. 解き方の手順

$y=|x-1|+2|x|$ のグラフを描き、$y \le 3$となる$x$の範囲を求める。

場合分けを行います。

(i) $x \ge 1$ のとき、$|x-1| = x-1$ , $|x| = x$なので、

$y = (x-1)+2x = 3x-1$

したがって、$3x-1 \le 3$ より、$3x \le 4$。よって、$x \le \frac{4}{3}$。

$x \ge 1$より、$1 \le x \le \frac{4}{3}$

(ii) $0 \le x < 1$ のとき、$|x-1| = -(x-1) = 1-x$, $|x| = x$なので、

$y = (1-x)+2x = x+1$

したがって、$x+1 \le 3$ より、$x \le 2$。

$0 \le x < 1$より、$0 \le x < 1$

(iii) $x < 0$ のとき、$|x-1| = -(x-1) = 1-x$, $|x| = -x$なので、

$y = (1-x)+2(-x) = 1-3x$

したがって、$1-3x \le 3$ より、$-3x \le 2$。よって、$x \ge -\frac{2}{3}$。

$x < 0$より、$-\frac{2}{3} \le x < 0$

(i),(ii),(iii)より、$-\frac{2}{3} \le x \le \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{3} \le x \le \frac{4}{3}$