$\sum_{k=1}^{n} (2k^3 - k)$ を計算し、$\frac{1}{2}n(n + \text{ツ})(n^2 + n - \text{テ})$ の形に表す時の空欄「ツ」と「テ」に入る数字を答える問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (2k^3 - k)$ を計算し、$\frac{1}{2}n(n + \text{ツ})(n^2 + n - \text{テ})$ の形に表す時の空欄「ツ」と「テ」に入る数字を答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、シグマの性質を使って、式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k^3 - k) = 2\sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} k$

次に、$\sum_{k=1}^{n} k^3$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ をそれぞれ公式を使って計算します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

これらの結果を元の式に代入します。

$2\sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} k = 2 \cdot \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)^2}{2} - \frac{n(n+1)}{2}$

$\frac{n(n+1)}{2}$ でくくります。

$\frac{n(n+1)}{2} (n(n+1) - 1) = \frac{n(n+1)}{2} (n^2 + n - 1)$

$\frac{1}{2} n(n+1)(n^2 + n - 1)$ と問題文の形を比較すると、

$\frac{1}{2}n(n + \text{ツ})(n^2 + n - \text{テ})$

$\text{ツ} = 1$

$\text{テ} = 1$

3. 最終的な答え

ツ = 1

テ = 1