与えられた3つの変換 $f$ が1次変換であるかどうかを、定義に従って調べる問題です。 (1) $f\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -x \\ -2y \end{array}\right)$ (2) $f\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2x+2 \\ -x-y \end{array}\right)$ (3) $f\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -x^2+y \\ 2x-3y \end{array}\right)$

1. 問題の内容

与えられた3つの変換 $f$ が1次変換であるかどうかを、定義に従って調べる問題です。

(1) $f\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -x \\ -2y \end{array}\right)$

(2) $f\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2x+2 \\ -x-y \end{array}\right)$

(3) $f\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -x^2+y \\ 2x-3y \end{array}\right)$

2. 解き方の手順

1次変換の定義は、以下の2つの条件を満たすことです。

(i) $f(\vec{x} + \vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y})$

(ii) $f(c\vec{x}) = cf(\vec{x})$ （ただし、$c$ はスカラー）

(1) $f\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -x \\ -2y \end{array}\right)$ の場合:

(i) $\vec{x} = \left(\begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \end{array}\right)$, $\vec{y} = \left(\begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \end{array}\right)$ とすると、

$f(\vec{x} + \vec{y}) = f\left(\begin{array}{c} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -(x_1+x_2) \\ -2(y_1+y_2) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -x_1-x_2 \\ -2y_1-2y_2 \end{array}\right)$

$f(\vec{x}) + f(\vec{y}) = \left(\begin{array}{c} -x_1 \\ -2y_1 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{c} -x_2 \\ -2y_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -x_1-x_2 \\ -2y_1-2y_2 \end{array}\right)$

したがって、$f(\vec{x} + \vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y})$ が成立します。

(ii) $f(c\vec{x}) = f\left(\begin{array}{c} cx \\ cy \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -cx \\ -2cy \end{array}\right) = c\left(\begin{array}{c} -x \\ -2y \end{array}\right) = cf(\vec{x})$

したがって、$f(c\vec{x}) = cf(\vec{x})$ が成立します。

よって、(1)は1次変換です。

(2) $f\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2x+2 \\ -x-y \end{array}\right)$ の場合:

$f(\vec{0}) = f\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}\right) \neq \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}\right)$ であるため、1次変換ではありません。

または、

$f(c\vec{x}) = f\left(\begin{array}{c} cx \\ cy \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2cx+2 \\ -cx-cy \end{array}\right)$

$cf(\vec{x}) = c\left(\begin{array}{c} 2x+2 \\ -x-y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2cx+2c \\ -cx-cy \end{array}\right)$

$c=0$ とすれば $f(0\vec{x}) = (2, 0)^T$, $0f(\vec{x}) = (0, 0)^T$ となり、$f(c\vec{x}) = cf(\vec{x})$ を満たさないため、1次変換ではありません。

(3) $f\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -x^2+y \\ 2x-3y \end{array}\right)$ の場合:

$f(c\vec{x}) = f\left(\begin{array}{c} cx \\ cy \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -(cx)^2+cy \\ 2cx-3cy \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -c^2x^2+cy \\ 2cx-3cy \end{array}\right)$

$cf(\vec{x}) = c\left(\begin{array}{c} -x^2+y \\ 2x-3y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -cx^2+cy \\ 2cx-3cy \end{array}\right)$

$f(c\vec{x}) = cf(\vec{x})$ が成立するためには、$-c^2x^2 = -cx^2$ である必要があり、これは一般的には成立しません。例えば、$c=2$, $x=1$ のとき、$-4 = -2$ となり矛盾します。

よって、(3)は1次変換ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 1次変換である。

(2) 1次変換ではない。

(3) 1次変換ではない。