実数全体を全体集合とし、$A = \{x \mid -3 \le x \le 5\}$, $B = \{x \mid |x| < 4\}$, $C = \{x \mid k-7 \le x < k+3\}$ (kは定数)とする。 (1) 次の集合を求めよ。 (ア) $\bar{B}$ (イ) $A \cup B$ (ウ) $A \cap B$ (2) $A \subset C$となるkの値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

実数全体を全体集合とし、$A = \{x \mid -3 \le x \le 5\}$, $B = \{x \mid |x| < 4\}$, $C = \{x \mid k-7 \le x < k+3\}$ (kは定数)とする。

(1) 次の集合を求めよ。

(ア) $\bar{B}$

(イ) $A \cup B$

(ウ) $A \cap B$

(2) $A \subset C$となるkの値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

(ア) $B = \{x \mid |x| < 4\}$は、$B = \{x \mid -4 < x < 4\}$を意味する。

したがって、$\bar{B} = \{x \mid x \le -4 \text{ or } 4 \le x\}$となる。

(イ) $A \cup B$は、$A$と$B$の和集合である。

$A = \{x \mid -3 \le x \le 5\}$

$B = \{x \mid -4 < x < 4\}$

したがって、$A \cup B = \{x \mid -4 < x \le 5\}$となる。

(ウ) $A \cap B$は、$A$と$B$の共通部分である。

$A = \{x \mid -3 \le x \le 5\}$

$B = \{x \mid -4 < x < 4\}$

したがって、$A \cap B = \{x \mid -3 \le x < 4\}$となる。

(2)

$A \subset C$となるkの値を求める。

$A = \{x \mid -3 \le x \le 5\}$

$C = \{x \mid k-7 \le x < k+3\}$

$A \subset C$であるためには、$k-7 \le -3$かつ$5 < k+3$である必要がある。

$k-7 \le -3$より、$k \le 4$となる。

$5 < k+3$より、$2 < k$となる。

したがって、$2 < k \le 4$となる。

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $\bar{B} = \{x \mid x \le -4 \text{ or } 4 \le x\}$

(イ) $A \cup B = \{x \mid -4 < x \le 5\}$

(ウ) $A \cap B = \{x \mid -3 \le x < 4\}$

(2) $2 < k \le 4$