$\log_2 3 = a$, $\log_3 7 = b$ のとき、$\log_{18} 84$ を $a$, $b$ で表す問題です。

1. 問題の内容

$\log_2 3 = a$, $\log_3 7 = b$ のとき、$\log_{18} 84$ を $a$, $b$ で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式を用いて与えられた対数を底を3とする対数で表します。

$\log_2 3 = a$ より、

$\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} = \frac{1}{a}$

また、$\log_3 7 = b$ なので、これらの情報を使って $\log_{18} 84$ を底が3の対数で表します。

$\log_{18} 84 = \frac{\log_3 84}{\log_3 18}$

ここで、84と18を素因数分解します。

$84 = 2^2 \times 3 \times 7$

$18 = 2 \times 3^2$

よって、

$\log_3 84 = \log_3 (2^2 \times 3 \times 7) = \log_3 2^2 + \log_3 3 + \log_3 7 = 2 \log_3 2 + 1 + \log_3 7$

$\log_3 18 = \log_3 (2 \times 3^2) = \log_3 2 + \log_3 3^2 = \log_3 2 + 2$

$\log_3 2 = \frac{1}{a}$, $\log_3 7 = b$ を代入すると、

$\log_3 84 = 2 \cdot \frac{1}{a} + 1 + b = \frac{2}{a} + 1 + b$

$\log_3 18 = \frac{1}{a} + 2$

したがって、

$\log_{18} 84 = \frac{\log_3 84}{\log_3 18} = \frac{\frac{2}{a} + 1 + b}{\frac{1}{a} + 2} = \frac{\frac{2 + a + ab}{a}}{\frac{1 + 2a}{a}} = \frac{2 + a + ab}{1 + 2a}$

3. 最終的な答え

$\log_{18} 84 = \frac{2 + a + ab}{1 + 2a}$