不等式 $2y > x + 1 + 3|x-1|$ が表す領域を $D$ とする。放物線 $C$ を $y = x^2 - 2ax + a^2 + a + 2$ で定めるとき、放物線 $C$ 上の点が全て $D$ の点となるような $a$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $2y > x + 1 + 3|x-1|$ が表す領域を $D$ とする。放物線 $C$ を $y = x^2 - 2ax + a^2 + a + 2$ で定めるとき、放物線 $C$ 上の点が全て $D$ の点となるような $a$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1: 領域 $D$ の不等式を絶対値に応じて場合分けする。

$x \ge 1$ のとき、$|x-1| = x-1$ なので、

$2y > x + 1 + 3(x-1) = 4x - 2$

$y > 2x - 1$

$x < 1$ のとき、$|x-1| = 1-x$ なので、

$2y > x + 1 + 3(1-x) = -2x + 4$

$y > -x + 2$

したがって、領域 $D$ は

$x \ge 1$ のとき $y > 2x - 1$

$x < 1$ のとき $y > -x + 2$

で表される。

ステップ2: 放物線 $C$ 上の点が全て領域 $D$ に含まれる条件を考える。

放物線 $C$ 上の任意の点 $(x, y)$ について $y = x^2 - 2ax + a^2 + a + 2$ が成り立つ。

$x \ge 1$ のとき、$y > 2x - 1$ より、$x^2 - 2ax + a^2 + a + 2 > 2x - 1$。これは、$x^2 - 2(a+1)x + a^2 + a + 3 > 0$ となる。

$x < 1$ のとき、$y > -x + 2$ より、$x^2 - 2ax + a^2 + a + 2 > -x + 2$。これは、$x^2 - (2a-1)x + a^2 + a > 0$ となる。

ステップ3: 不等式が常に成立するための条件を考える。

$f(x) = x^2 - 2(a+1)x + a^2 + a + 3$ とおく。$x \ge 1$ で常に $f(x) > 0$ となるためには、

$f(x) = (x - (a+1))^2 - (a+1)^2 + a^2 + a + 3 = (x - (a+1))^2 - a^2 - 2a - 1 + a^2 + a + 3 = (x - (a+1))^2 -a + 2$

軸 $x = a+1$ と $x \ge 1$ の位置関係で場合分けする。

(i) $a+1 \ge 1$, つまり $a \ge 0$ のとき、$f(x)$ は $x \ge 1$ で増加するので、$f(1) = 1 - 2(a+1) + a^2 + a + 3 = a^2 - a + 2 > 0$ となればよい。判別式 $D = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 < 0$ より、常に成立。

(ii) $a+1 < 1$, つまり $a < 0$ のとき、$f(x)$ は $x \ge 1$ で減少するので、$x = a+1$ で最小となる。よって、$-a + 2 > 0$, $a < 2$ となる。$a < 0$ より、$a < 0$

$g(x) = x^2 - (2a-1)x + a^2 + a$ とおく。$x < 1$ で常に $g(x) > 0$ となるためには、

$g(x) = (x - \frac{2a-1}{2})^2 - (\frac{2a-1}{2})^2 + a^2 + a = (x - \frac{2a-1}{2})^2 - (4a^2 - 4a + 1)/4 + (4a^2 + 4a)/4 = (x - \frac{2a-1}{2})^2 + \frac{8a-1}{4}$

軸 $x = \frac{2a-1}{2}$ と $x < 1$ の位置関係で場合分けする。

(i) $\frac{2a-1}{2} \ge 1$, つまり $2a - 1 \ge 2$, $a \ge \frac{3}{2}$ のとき、$g(x)$ は $x < 1$ で減少するので、$g(1) = 1 - (2a-1) + a^2 + a = a^2 - a + 2 > 0$ となればよい。判別式 $D = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 < 0$ より、常に成立。

(ii) $\frac{2a-1}{2} < 1$, つまり $2a - 1 < 2$, $a < \frac{3}{2}$ のとき、$g(x)$ は $x = \frac{2a-1}{2}$ で最小となる。よって、$\frac{8a-1}{4} > 0$, $a > \frac{1}{8}$ となる。$a < \frac{3}{2}$ より、$\frac{1}{8} < a < \frac{3}{2}$

したがって、$a \ge \frac{1}{8}$ が必要

まとめると、$a \ge 0$ かつ ($\frac{3}{2} \le a$ または $\frac{1}{8} < a < \frac{3}{2}$)

したがって $a \ge \frac{1}{8}$.

3. 最終的な答え

$a \ge \frac{1}{8}$