与えられた2つの行列式について、第1行に関する展開を利用して、それぞれの行列式の値を求める。 (1) の行列式は $\begin{vmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 4 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}$ (2) の行列式は $\begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた2つの行列式について、第1行に関する展開を利用して、それぞれの行列式の値を求める。

(1) の行列式は

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 4 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

(2) の行列式は

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) の場合

第1行に関する展開は次のようになる。

$0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13}$

ここで、$C_{ij}$ は $(i, j)$ 成分に関する余因子である。

よって、行列式は $3 \cdot C_{13}$ となる。

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1 - (-1) \cdot 3) = 2 + 3 = 5$

したがって、行列式の値は $3 \cdot 5 = 15$ である。

(2) の場合

第1行に関する展開は次のようになる。

$2 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + (-1) \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14} = 2 \cdot C_{11} - C_{13}$

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -4 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 2(4 - (-1)) + (-4(-1) - 2(2)) = 2(5) + (4-4) = 10$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 3(-8-2) - 2(2-0) + (2-0) = 3(-10) - 4 + 2 = -30 - 4 + 2 = -32$

したがって、行列式の値は $2 \cdot 10 - (-32) = 20 + 32 = 52$ である。

3. 最終的な答え

(1) 15

(2) 52