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与えられた行列 $A$ と $B$ に対して、以下の問題を解きます。 1. 行列の積 $AB$ および行列式 $\det(AB)$ を求める。

代数学行列行列式階数行列の積
2025/7/25

1. 問題の内容

与えられた行列 AA と BB に対して、以下の問題を解きます。

1. 行列の積 $AB$ および行列式 $\det(AB)$ を求める。

2. 行列の積 $BA$ および階数 $\operatorname{rank}(BA)$ を求める。

ここで、
A=[−3−1−21−21−2−1222−2]A = \begin{bmatrix} -3 & -1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 & -2 \end{bmatrix}
B=[1−11−31−3−3−1−31−1−2]B = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -3 & 1 & -3 \\ -3 & -1 & -3 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}
です。

2. 解き方の手順

(1) 行列の積 ABAB を計算します。
AB=[−3−1−21−21−2−1222−2][1−11−31−3−3−1−31−1−2]AB = \begin{bmatrix} -3 & -1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -3 & 1 & -3 \\ -3 & -1 & -3 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}
AB=[−3+3+6+13−1+2−1−3+3+6−2−2−3+6−12+1+2+1−2−3+6+22−6−6−2−2+2−2+22−6−6+4]AB = \begin{bmatrix} -3+3+6+1 & 3-1+2-1 & -3+3+6-2 \\ -2-3+6-1 & 2+1+2+1 & -2-3+6+2 \\ 2-6-6-2 & -2+2-2+2 & 2-6-6+4 \end{bmatrix}
AB=[734063−120−6]AB = \begin{bmatrix} 7 & 3 & 4 \\ 0 & 6 & 3 \\ -12 & 0 & -6 \end{bmatrix}
次に、行列式 det⁡(AB)\det(AB) を計算します。
det⁡(AB)=det⁡[734063−120−6]\det(AB) = \det \begin{bmatrix} 7 & 3 & 4 \\ 0 & 6 & 3 \\ -12 & 0 & -6 \end{bmatrix}
det⁡(AB)=7⋅(6⋅(−6)−3⋅0)−3⋅(0⋅(−6)−3⋅(−12))+4⋅(0⋅0−6⋅(−12))\det(AB) = 7 \cdot (6 \cdot (-6) - 3 \cdot 0) - 3 \cdot (0 \cdot (-6) - 3 \cdot (-12)) + 4 \cdot (0 \cdot 0 - 6 \cdot (-12))
det⁡(AB)=7⋅(−36)−3⋅(36)+4⋅(72)\det(AB) = 7 \cdot (-36) - 3 \cdot (36) + 4 \cdot (72)
det⁡(AB)=−252−108+288=−72\det(AB) = -252 - 108 + 288 = -72
(2) 行列の積 BABA を計算します。
BA=[1−11−31−3−3−1−31−1−2][−3−1−21−21−2−1222−2]BA = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -3 & 1 & -3 \\ -3 & -1 & -3 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & -1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 & -2 \end{bmatrix}
BA=[−3+2+2−1−1+2−2+2+21+1−29−2−63+1−66−2−6−3−1+69+2−63−1−66+2−6−3+1+6−3+2−4−1−1−4−2+2−41+1+4]BA = \begin{bmatrix} -3+2+2 & -1-1+2 & -2+2+2 & 1+1-2 \\ 9-2-6 & 3+1-6 & 6-2-6 & -3-1+6 \\ 9+2-6 & 3-1-6 & 6+2-6 & -3+1+6 \\ -3+2-4 & -1-1-4 & -2+2-4 & 1+1+4 \end{bmatrix}
BA=[10201−2−225−424−5−6−46]BA = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & -2 & 2 \\ 5 & -4 & 2 & 4 \\ -5 & -6 & -4 & 6 \end{bmatrix}
次に、階数 rank⁡(BA)\operatorname{rank}(BA) を計算します。
BABA を簡約化します。
[10201−2−225−424−5−6−46]→[10200−2−420−4−840−666]→[1020012−100000000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & -2 & 2 \\ 5 & -4 & 2 & 4 \\ -5 & -6 & -4 & 6 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & -4 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 4 \\ 0 & -6 & 6 & 6 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
簡約化された行列は2つの非ゼロ行を持つので、rank⁡(BA)=2\operatorname{rank}(BA) = 2。

3. 最終的な答え

1. $AB = \begin{bmatrix} 7 & 3 & 4 \\ 0 & 6 & 3 \\ -12 & 0 & -6 \end{bmatrix}$, $\det(AB) = -72$

2. $BA = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & -2 & 2 \\ 5 & -4 & 2 & 4 \\ -5 & -6 & -4 & 6 \end{bmatrix}$, $\operatorname{rank}(BA) = 2$

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