与えられた式 $(x-1)(x-3)(x+2)(x+4)$ を展開して整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-3)(x+2)(x+4)$ を展開して整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、適切な組み合わせで因数を掛け合わせることで、展開が簡単になるようにする。今回は、$(x-1)$ と $(x+2)$、$(x-3)$ と $(x+4)$ をそれぞれ掛け合わせると、$x$の一次の項の係数が同じになるため、計算が楽になる。

ステップ1：$(x-1)(x+2)$ を展開する。

$$(x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$$

ステップ2：$(x-3)(x+4)$ を展開する。

$$(x-3)(x+4) = x^2 + 4x - 3x - 12 = x^2 + x - 12$$

ステップ3：ステップ1とステップ2の結果を掛け合わせる。

$$(x^2 + x - 2)(x^2 + x - 12)$$

ステップ4：ステップ3を展開する。

\begin{align*}

(x^2 + x - 2)(x^2 + x - 12) &= x^2(x^2 + x - 12) + x(x^2 + x - 12) - 2(x^2 + x - 12) \\

&= x^4 + x^3 - 12x^2 + x^3 + x^2 - 12x - 2x^2 - 2x + 24 \\

&= x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 14x + 24

\end{align*}

3. 最終的な答え

$x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 14x + 24$