写真立ての中に、縦10cm、横6cmの写真を入れる。写真の周囲の余白の縦と横の幅は同じである。写真の面積が写真立ての面積の $\frac{5}{8}$ になるようにするとき、写真立ての余白の幅を求める。

1. 問題の内容

写真立ての中に、縦10cm、横6cmの写真を入れる。写真の周囲の余白の縦と横の幅は同じである。写真の面積が写真立ての面積の $\frac{5}{8}$ になるようにするとき、写真立ての余白の幅を求める。

2. 解き方の手順

余白の幅を $x$ cmとする。

写真立ての縦の長さは $10 + 2x$ cm、横の長さは $6 + 2x$ cmである。

写真の面積は $10 \times 6 = 60$ cm$^2$ である。

写真立ての面積は $(10+2x)(6+2x)$ cm$^2$である。

問題文より、写真の面積が写真立ての面積の $\frac{5}{8}$ であるから、

$$60 = \frac{5}{8}(10+2x)(6+2x)$$

両辺に $\frac{8}{5}$ をかけると、

$$60 \times \frac{8}{5} = (10+2x)(6+2x)$$

$$96 = (10+2x)(6+2x)$$

$$96 = 60 + 20x + 12x + 4x^2$$

$$96 = 4x^2 + 32x + 60$$

$$4x^2 + 32x - 36 = 0$$

両辺を4で割ると、

$$x^2 + 8x - 9 = 0$$

因数分解すると、

$$(x+9)(x-1) = 0$$

$x$ は長さなので、$x>0$であるから、

$x = 1$

3. 最終的な答え

1 cm