横が縦より6cm長い長方形の紙がある。この紙の4隅から一辺4cmの正方形を切り取り、直方体の容器を作ったところ、容積が540 cm³になった。はじめの紙の縦と横の長さを求めよ。

1. 問題の内容

横が縦より6cm長い長方形の紙がある。この紙の4隅から一辺4cmの正方形を切り取り、直方体の容器を作ったところ、容積が540 cm³になった。はじめの紙の縦と横の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

はじめの紙の縦の長さを $x$ cmとすると、横の長さは $x+6$ cmとなる。

4隅から一辺4cmの正方形を切り取って直方体の容器を作ると、

底面の縦の長さは $x-4 \times 2 = x-8$ cm

底面の横の長さは $x+6 - 4 \times 2 = x-2$ cm

高さは4cmとなる。

したがって、直方体の容積は

$4(x-8)(x-2)$ cm³

これが540 cm³なので、以下の式が成り立つ。

$4(x-8)(x-2) = 540$

$(x-8)(x-2) = \frac{540}{4}$

$(x-8)(x-2) = 135$

$x^2 -10x + 16 = 135$

$x^2 -10x -119 = 0$

$(x-17)(x+7) = 0$

$x = 17, -7$

$x$は長さを表すので、$x>0$。したがって$x=17$。

縦の長さは17 cm、横の長さは $17+6 = 23$ cm。

3. 最終的な答え

縦[17 cm] 横[23 cm]