次の3次方程式を解く問題です。 (1) $x^3 + 8 = 0$ (2) $x^3 = 27$ (3) $8x^3 - 1 = 0$ (4) $(x-4)^3 = -1$ (5) $x^3 - x^2 + x = 0$

1. 問題の内容

次の3次方程式を解く問題です。

(1) $x^3 + 8 = 0$

(2) $x^3 = 27$

(3) $8x^3 - 1 = 0$

(4) $(x-4)^3 = -1$

(5) $x^3 - x^2 + x = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + 8 = 0$

$x^3 = -8 = (-2)^3$

$x = -2$ は実数解の一つです。

$x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0$

$x^2 - 2x + 4 = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$

よって、$x = -2, 1 + \sqrt{3}i, 1 - \sqrt{3}i$

(2) $x^3 = 27 = 3^3$

$x = 3$ は実数解の一つです。

$x^3 - 27 = (x-3)(x^2 + 3x + 9) = 0$

$x^2 + 3x + 9 = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}i}{2} = -\frac{3}{2} \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}i$

よって、$x = 3, -\frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i, -\frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}i$

(3) $8x^3 - 1 = 0$

$(2x)^3 = 1$

$2x = 1$ は実数解の一つです。

$2x = y$ とおくと、$y^3 - 1 = (y-1)(y^2 + y + 1) = 0$

$y^2 + y + 1 = 0$ の解は、解の公式より

$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$2x = 1, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

よって、$x = \frac{1}{2}, -\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i, -\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i$

(4) $(x-4)^3 = -1$

$x-4 = -1$ は実数解の一つです。

$x-4 = y$ とおくと、$y^3 + 1 = (y+1)(y^2 - y + 1) = 0$

$y^2 - y + 1 = 0$ の解は、解の公式より

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$x-4 = -1, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

よって、$x = 3, \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

(5) $x^3 - x^2 + x = 0$

$x(x^2 - x + 1) = 0$

$x = 0$

$x^2 - x + 1 = 0$ の解は、解の公式より

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$

よって、$x = 0, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

3. 最終的な答え

(1) $x = -2, 1 + \sqrt{3}i, 1 - \sqrt{3}i$

(2) $x = 3, -\frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i, -\frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2}i$

(3) $x = \frac{1}{2}, -\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i, -\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i$

(4) $x = 3, \frac{9}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

(5) $x = 0, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$