与えられた2つの行列式を、それぞれ第1行に関する展開を用いて計算する問題です。 (1) $ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 4 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} $ (2) $ \begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた2つの行列式を、それぞれ第1行に関する展開を用いて計算する問題です。

(1)

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 3 \\

2 & -1 & 4 \\

3 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

(2)

$$

\begin{vmatrix}

2 & 0 & -1 & 0 \\

3 & 2 & 0 & 1 \\

1 & -4 & 2 & 1 \\

0 & 2 & -1 & 2

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

(1) 第1行に関する展開により、行列式は以下のように計算できます。

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 3 \\

2 & -1 & 4 \\

3 & 1 & 2

\end{vmatrix}

= 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13}

$$

ここで、$C_{13}$ は (1,3) 成分の余因子です。

$$

C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix}

2 & -1 \\

3 & 1

\end{vmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot 1 - (-1) \cdot 3) = 2 + 3 = 5

$$

したがって、行列式は

$$

0 + 0 + 3 \cdot 5 = 15

$$

(2) 第1行に関する展開により、行列式は以下のように計算できます。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 0 & -1 & 0 \\

3 & 2 & 0 & 1 \\

1 & -4 & 2 & 1 \\

0 & 2 & -1 & 2

\end{vmatrix}

= 2 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + (-1) \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14}

= 2 \cdot C_{11} - C_{13}

$$

ここで、$C_{11}$ と $C_{13}$ はそれぞれ (1,1) 成分と (1,3) 成分の余因子です。

$$

C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix}

2 & 0 & 1 \\

-4 & 2 & 1 \\

2 & -1 & 2

\end{vmatrix}

= 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}

= 2(4 - (-1)) - 0 + (4 - 4) = 2(5) + 0 = 10

$$

$$

C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix}

3 & 2 & 1 \\

1 & -4 & 1 \\

0 & 2 & 2

\end{vmatrix}

= 3 \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}

= 3(-8 - 2) - 2(2 - 0) + (2 - 0) = 3(-10) - 4 + 2 = -30 - 4 + 2 = -32

$$

したがって、行列式は

$$

2 \cdot 10 - (-32) = 20 + 32 = 52

$$

3. 最終的な答え

(1) 15

(2) 52