線分ABの長さが14cmである。線分AB上に点Pを取り、APとBPをそれぞれ1辺とする2つの正方形を作る。2つの正方形の面積の和が120cm$^2$であるとき、線分APの長さを求めよ。ただし、AP < PBとする。

1. 問題の内容

線分ABの長さが14cmである。線分AB上に点Pを取り、APとBPをそれぞれ1辺とする2つの正方形を作る。2つの正方形の面積の和が120cm$^2$であるとき、線分APの長さを求めよ。ただし、AP < PBとする。

2. 解き方の手順

APの長さを$x$とすると、BPの長さは$14-x$となる。

AP < PBより、$x < 14 - x$であり、$2x < 14$なので、$x < 7$である。

APを1辺とする正方形の面積は$x^2$、BPを1辺とする正方形の面積は$(14-x)^2$である。

2つの正方形の面積の和は120cm$^2$なので、

$x^2 + (14-x)^2 = 120$

$x^2 + 196 - 28x + x^2 = 120$

$2x^2 - 28x + 196 - 120 = 0$

$2x^2 - 28x + 76 = 0$

$x^2 - 14x + 38 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 - 4(1)(38)}}{2(1)}$

$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 152}}{2}$

$x = \frac{14 \pm \sqrt{44}}{2}$

$x = \frac{14 \pm 2\sqrt{11}}{2}$

$x = 7 \pm \sqrt{11}$

$x < 7$なので、

$x = 7 - \sqrt{11}$

$\sqrt{9} < \sqrt{11} < \sqrt{16}$より、$3 < \sqrt{11} < 4$

$7 - 4 < 7 - \sqrt{11} < 7 - 3$

$3 < 7 - \sqrt{11} < 4$

よって、$x = 7 - \sqrt{11}$

3. 最終的な答え

$7 - \sqrt{11}$ cm