与えられた二次関数 $y=x^2-4ax+6a^2-4ab$ を $x$軸方向に3、$y$軸方向に$b$だけ平行移動したグラフが $y=x^2-8x+10$ となるときの$a$、$b$の値を求め、そのときのグラフ$C$ が $x$ 軸から切り取る線分の長さを求め、グラフ$C$と$x$軸の交点に関する記述の正誤を判定する問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y=x^2-4ax+6a^2-4ab$ を $x$軸方向に3、$y$軸方向に$b$だけ平行移動したグラフが $y=x^2-8x+10$ となるときの$a$、$b$の値を求め、そのときのグラフ$C$ が $x$ 軸から切り取る線分の長さを求め、グラフ$C$と$x$軸の交点に関する記述の正誤を判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平行移動します。平行移動後の関数は次のようになります。

$y - b = (x - 3)^2 - 4a(x - 3) + 6a^2 - 4ab$

$y = x^2 - 6x + 9 - 4ax + 12a + 6a^2 - 4ab + b$

$y = x^2 - (6 + 4a)x + (9 + 12a + 6a^2 - 4ab + b)$

これが $y = x^2 - 8x + 10$ と一致するので、係数を比較して連立方程式を立てます。

$6 + 4a = 8$

$9 + 12a + 6a^2 - 4ab + b = 10$

一つ目の式から、$4a = 2$ より $a = \frac{1}{2}$ が得られます。

これを二つ目の式に代入すると、

$9 + 12(\frac{1}{2}) + 6(\frac{1}{4}) - 4(\frac{1}{2})b + b = 10$

$9 + 6 + \frac{3}{2} - 2b + b = 10$

$15 + \frac{3}{2} - b = 10$

$\frac{33}{2} - b = 10$

$b = \frac{33}{2} - 10 = \frac{13}{2}$

したがって、$a = \frac{1}{2}$、$b = \frac{13}{2}$ です。

次に、元の関数 $C: y = x^2 - 4ax + 6a^2 - 4ab$ に $a$ と $b$ の値を代入します。

$y = x^2 - 4(\frac{1}{2})x + 6(\frac{1}{4}) - 4(\frac{1}{2})(\frac{13}{2})$

$y = x^2 - 2x + \frac{3}{2} - 13$

$y = x^2 - 2x - \frac{23}{2}$

$x$軸との交点を求めるために $y = 0$ とおきます。

$x^2 - 2x - \frac{23}{2} = 0$

$2x^2 - 4x - 23 = 0$

解の公式より、$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(2)(-23)}}{2(2)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 184}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{200}}{4} = \frac{4 \pm 10\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}$

切り取る線分の長さは、2つの解の差の絶対値なので、

$\left| (1 + \frac{5\sqrt{2}}{2}) - (1 - \frac{5\sqrt{2}}{2}) \right| = \left| \frac{10\sqrt{2}}{2} \right| = 5\sqrt{2}$

$x$軸との交点は $1 + \frac{5\sqrt{2}}{2} > 0$ と $1 - \frac{5\sqrt{2}}{2}$ であり、$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので $\frac{5\sqrt{2}}{2} \approx \frac{5 \times 1.414}{2} \approx 3.535$ となり、$1 - \frac{5\sqrt{2}}{2} < 0$ です。

したがって、グラフCはx軸の正の部分と負の部分で交わります。

3. 最終的な答え

ケ = 1/2

コ = 2

サ = 13

シ = 2

スセ = $5\sqrt{2}$

ソ = ②