不等式 $\frac{1}{x-1} < x-1$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{1}{x-1} < x-1$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$x \neq 1$ であることに注意します。

不等式の両辺に $x-1$ を掛けることはできません。なぜなら、$x-1$ の符号がわからないからです。

したがって、$x-1$ が正の場合と負の場合に分けて考えます。しかし、ここでは両辺から $x-1$ を引いて、

$\frac{1}{x-1} - (x-1) < 0$

と変形します。

次に、左辺を整理します。

$\frac{1 - (x-1)^2}{x-1} < 0$

$\frac{1 - (x^2 - 2x + 1)}{x-1} < 0$

$\frac{1 - x^2 + 2x - 1}{x-1} < 0$

$\frac{-x^2 + 2x}{x-1} < 0$

$\frac{-x(x-2)}{x-1} < 0$

両辺に $-1$ を掛けると、

$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$

となります。

次に、この不等式の符号の変化を調べます。

$x(x-2) = 0$ となる $x$ は $x=0$ と $x=2$ です。また、$x-1=0$ となる $x$ は $x=1$ です。

したがって、$x=0$, $x=1$, $x=2$ で符号が変化する可能性があります。

数直線を考えて、これらの値で区切られた領域で不等式が成り立つかどうか調べます。

- $x < 0$ のとき: $x$ は負、$x-2$ は負、$x-1$ は負なので、$\frac{x(x-2)}{x-1} = \frac{(-)(-)}{(-)} = (-)$ となり、$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$ は成り立ちません。

- $0 < x < 1$ のとき: $x$ は正、$x-2$ は負、$x-1$ は負なので、$\frac{x(x-2)}{x-1} = \frac{(+)(-)}{(-)} = (+)$ となり、$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$ は成り立ちます。

- $1 < x < 2$ のとき: $x$ は正、$x-2$ は負、$x-1$ は正なので、$\frac{x(x-2)}{x-1} = \frac{(+)(-)}{(+)} = (-)$ となり、$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$ は成り立ちません。

- $x > 2$ のとき: $x$ は正、$x-2$ は正、$x-1$ は正なので、$\frac{x(x-2)}{x-1} = \frac{(+)(+)}{(+)} = (+)$ となり、$\frac{x(x-2)}{x-1} > 0$ は成り立ちます。

したがって、不等式を満たす $x$ の範囲は $0 < x < 1$ または $x > 2$ です。

3. 最終的な答え

$0 < x < 1$ または $x > 2$