問題は、空でない集合 $X$ と $Y$ が与えられ、$f$ を $X$ から $Y$ への写像とするとき、$f$ が単射 (1対1写像) であることの定義を書くことです。

1. 問題の内容

問題は、空でない集合 $X$ と $Y$ が与えられ、$f$ を $X$ から $Y$ への写像とするとき、$f$ が単射 (1対1写像) であることの定義を書くことです。

2. 解き方の手順

単射の定義は、$X$ の異なる要素が、$Y$ の異なる要素に写像されることです。つまり、$X$ の任意の 2 つの要素 $x_1$ と $x_2$ に対して、$x_1 \neq x_2$ ならば $f(x_1) \neq f(x_2)$ が成り立つことです。

同値な定義として、$f(x_1) = f(x_2)$ ならば $x_1 = x_2$ が成り立つことでも定義できます。

3. 最終的な答え

$f$ が単射であるとは、$X$ の任意の要素 $x_1, x_2$ に対して、

$$$$

f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2

$$$$

が成り立つことである。

または、$X$ の任意の要素 $x_1, x_2$ に対して、

$$$$

x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)

$$$$

が成り立つことである。