画像には、以下の3つの問題があります。 1. 単項式と多項式の乗法、除法

はい、承知しました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

画像には、以下の3つの問題があります。

1. 単項式と多項式の乗法、除法

2. 式の展開

3. いろいろな計算

それぞれの問題の中には、いくつかの計算問題が含まれています。これから、これらの問題を順番に解いていきます。

2. 解き方の手順

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1. 単項式と多項式の乗法、除法**

(1) $-5a(a-6)$

分配法則を使って展開します。

$-5a(a-6) = -5a \cdot a -5a \cdot (-6) = -5a^2 + 30a$

(2) $(3a-18) \times \frac{1}{3}b$

分配法則を使って展開します。

$(3a-18) \times \frac{1}{3}b = 3a \cdot \frac{1}{3}b - 18 \cdot \frac{1}{3}b = ab - 6b$

(3) $(12x^2 - 4x) \div (-2x)$

分配法則を使って計算します。

$(12x^2 - 4x) \div (-2x) = \frac{12x^2}{-2x} - \frac{4x}{-2x} = -6x + 2$

(4) $(28y^2 - 49xy - 14y) \div \frac{7}{2}y$

分配法則を使って計算します。

$(28y^2 - 49xy - 14y) \div \frac{7}{2}y = 28y^2 \cdot \frac{2}{7y} - 49xy \cdot \frac{2}{7y} - 14y \cdot \frac{2}{7y} = 8y - 14x - 4$

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2. 式の展開**

(1) $(a+3)(b-8)$

分配法則を使って展開します。

$(a+3)(b-8) = a(b-8) + 3(b-8) = ab - 8a + 3b - 24$

(2) $(4+x)(9-5y)$

分配法則を使って展開します。

$(4+x)(9-5y) = 4(9-5y) + x(9-5y) = 36 - 20y + 9x - 5xy$

(3) $(x+7)(x-15)$

展開の公式 $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ を使います。

$(x+7)(x-15) = x^2 + (7-15)x + (7)(-15) = x^2 - 8x - 105$

(4) $(a+2b)(a+12b)$

展開の公式 $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ を使います。

$(a+2b)(a+12b) = a^2 + (2b+12b)a + (2b)(12b) = a^2 + 14ab + 24b^2$

(5) $(x+10)^2$

展開の公式 $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$ を使います。

$(x+10)^2 = x^2 + 2(10)x + 10^2 = x^2 + 20x + 100$

(6) $(a-\frac{1}{4})^2$

展開の公式 $(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2$ を使います。

$(a-\frac{1}{4})^2 = a^2 - 2(a)(\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4})^2 = a^2 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{16}$

(7) $(x+11)(x-11)$

展開の公式 $(x+a)(x-a) = x^2 - a^2$ を使います。

$(x+11)(x-11) = x^2 - 11^2 = x^2 - 121$

(8) $(7m-2)(7m+2)$

展開の公式 $(x-a)(x+a) = x^2 - a^2$ を使います。

$(7m-2)(7m+2) = (7m)^2 - 2^2 = 49m^2 - 4$

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3. いろいろな計算**

(1) $(x+14)(x-2) + (x-3)(3+x)$

分配法則を使って展開し、同類項をまとめます。

$(x+14)(x-2) + (x-3)(3+x) = (x^2 + 12x - 28) + (x^2 - 9) = 2x^2 + 12x - 37$

(2) $2(a+9)^2 - (a-1)^2$

展開の公式を使って展開し、同類項をまとめます。

$2(a+9)^2 - (a-1)^2 = 2(a^2 + 18a + 81) - (a^2 - 2a + 1) = 2a^2 + 36a + 162 - a^2 + 2a - 1 = a^2 + 38a + 161$

(3) $(x-2y-5)^2$

$(A-5)^2 = A^2 - 10A + 25$ と置き換えます。（ただし、$A=x-2y$）

$(x-2y-5)^2 = ((x-2y)-5)^2 = (x-2y)^2 - 10(x-2y) + 25 = x^2 - 4xy + 4y^2 - 10x + 20y + 25$

(4) $(3a+b+1)(3a+b-1)$

$(A+1)(A-1) = A^2 - 1$ と置き換えます。（ただし、$A=3a+b$）

$(3a+b+1)(3a+b-1) = ((3a+b)+1)((3a+b)-1) = (3a+b)^2 - 1^2 = (9a^2 + 6ab + b^2) - 1 = 9a^2 + 6ab + b^2 - 1$

3. 最終的な答え

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1. 単項式と多項式の乗法、除法**

(1) $-5a^2 + 30a$

(2) $ab - 6b$

(3) $-6x + 2$

(4) $8y - 14x - 4$

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2. 式の展開**

(1) $ab - 8a + 3b - 24$

(2) $36 - 20y + 9x - 5xy$

(3) $x^2 - 8x - 105$

(4) $a^2 + 14ab + 24b^2$

(5) $x^2 + 20x + 100$

(6) $a^2 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{16}$

(7) $x^2 - 121$

(8) $49m^2 - 4$

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3. いろいろな計算**

(1) $2x^2 + 12x - 37$

(2) $a^2 + 38a + 161$

(3) $x^2 - 4xy + 4y^2 - 10x + 20y + 25$

(4) $9a^2 + 6ab + b^2 - 1$