不等式 $|x-1| + 2|x| \leq 3$ をグラフを利用して解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $|x-1| + 2|x| \leq 3$ をグラフを利用して解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、絶対値記号を外すために、$x$ の範囲を場合分けします。

(i) $x < 0$ のとき

$|x-1| = -(x-1) = 1-x$

$|x| = -x$

よって、与えられた不等式は

$1-x - 2x \leq 3$

$-3x \leq 2$

$x \geq -\frac{2}{3}$

$x<0$ の範囲でこれを満たすのは $-\frac{2}{3} \leq x < 0$

(ii) $0 \leq x < 1$ のとき

$|x-1| = -(x-1) = 1-x$

$|x| = x$

よって、与えられた不等式は

$1-x + 2x \leq 3$

$x \leq 2$

$0 \leq x < 1$ の範囲でこれを満たすのは $0 \leq x < 1$

(iii) $x \geq 1$ のとき

$|x-1| = x-1$

$|x| = x$

よって、与えられた不等式は

$x-1 + 2x \leq 3$

$3x \leq 4$

$x \leq \frac{4}{3}$

$x \geq 1$ の範囲でこれを満たすのは $1 \leq x \leq \frac{4}{3}$

(i), (ii), (iii)の結果を合わせると、$-\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{4}{3}$

別の解法として、$y=|x-1|+2|x|$ のグラフを描画し、$y \leq 3$ となる $x$ の範囲を求める方法があります。

$x$の値によって関数の形が変わる箇所は、$x=0$と$x=1$です。

$y=|x-1|+2|x|$のグラフを描くと、以下のようになります。

- $x < 0$ のとき $y = 1-x -2x = -3x+1$

- $0 \leq x < 1$ のとき $y = 1-x + 2x = x+1$

- $x \geq 1$ のとき $y = x-1 + 2x = 3x-1$

$y=-3x+1 \leq 3$ を解くと、$-3x \leq 2$ より $x \geq -\frac{2}{3}$。 $x<0$との共通範囲は $-\frac{2}{3} \leq x < 0$

$y=x+1 \leq 3$ を解くと、$x \leq 2$。 $0 \leq x < 1$との共通範囲は $0 \leq x < 1$

$y=3x-1 \leq 3$ を解くと、$3x \leq 4$ より $x \leq \frac{4}{3}$。 $x \geq 1$との共通範囲は $1 \leq x \leq \frac{4}{3}$

したがって、解は$-\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{4}{3}$