与えられた数式 $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行う。分母の $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ に共役な $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ を分子と分母の両方にかける。

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}$

分子を展開する。

$(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$

分母を展開する。

$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

したがって、

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{7 + 2\sqrt{10}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{7 + 2\sqrt{10}}{3}$