直線 $l: y = \frac{3}{4}x + 3$ と直線 $m: y = -x + 6$ のグラフが与えられています。直線 $l$ と $y$軸の交点、直線 $l$ と直線 $m$ の交点、直線 $m$ と $x$軸の交点をそれぞれB, A, Cとするとき、以下の問いに答えます。 (1) 直線$l$の$y$切片を求めなさい。 (2) 点Aを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求めなさい。

## 問題の解答

**

4. (1次関数のグラフと方程式)**

1. 問題の内容

直線 $l: y = \frac{3}{4}x + 3$ と直線 $m: y = -x + 6$ のグラフが与えられています。直線 $l$ と $y$軸の交点、直線 $l$ と直線 $m$ の交点、直線 $m$ と $x$軸の交点をそれぞれB, A, Cとするとき、以下の問いに答えます。

(1) 直線$l$の$y$切片を求めなさい。

(2) 点Aを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 直線$l$の$y$切片は、$x=0$のときの$y$の値です。

$y = \frac{3}{4} \cdot 0 + 3 = 3$

(2) まず、点A, B, Cの座標を求めます。

* 点Aは直線$l$と直線$m$の交点なので、連立方程式を解きます。

$\frac{3}{4}x + 3 = -x + 6$

$\frac{7}{4}x = 3$

$x = \frac{12}{7}$

$y = -\frac{12}{7} + 6 = \frac{30}{7}$

よって、$A(\frac{12}{7}, \frac{30}{7})$

* 点Bは直線$l$と$x$軸の交点なので、$y=0$を代入します。

$0 = \frac{3}{4}x + 3$

$\frac{3}{4}x = -3$

$x = -4$

よって、$B(-4, 0)$

* 点Cは直線$m$と$x$軸の交点なので、$y=0$を代入します。

$0 = -x + 6$

$x = 6$

よって、$C(6, 0)$

三角形ABCの面積を2等分する直線は、辺BCの中点を通ります。

BCの中点をMとすると、Mの座標は、

$M = (\frac{-4+6}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 0)$

求める直線は、点A$(\frac{12}{7}, \frac{30}{7})$と点M$(1, 0)$を通る直線です。

傾きを$a$とすると、

$a = \frac{\frac{30}{7} - 0}{\frac{12}{7} - 1} = \frac{\frac{30}{7}}{\frac{5}{7}} = 6$

よって、$y = 6(x - 1) = 6x - 6$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $y = 6x - 6$

**

5. (1次関数の利用 料金の問題)**

1. 問題の内容

ある電話会社の料金プランにおいて、基本使用料は1100円、通話料は90分まで無料、90分を超えた分は1分あたり25円です。

(1) 1か月に100分通話したときの電話料金を求めなさい。

(2) 1か月に$x$分通話したときの電話料金を$y$円とするとき、$x \geq 90$ のときの $x$ と $y$ の関係を式で表しなさい。

2. 解き方の手順

(1) 100分通話しているので、90分を超えた分は10分です。

超過分の料金は、10分 * 25円/分 = 250円

電話料金 = 基本使用料 + 超過分の料金 = 1100円 + 250円 = 1350円

(2) $x$分通話したとき、$x \geq 90$ なので、超過分の時間は$x - 90$分です。

超過分の料金は、$(x - 90) \cdot 25$ 円

よって、$y = 1100 + 25(x - 90) = 1100 + 25x - 2250 = 25x - 1150$

3. 最終的な答え

(1) 1350円

(2) $y = 25x - 1150$

**

6. (1次関数の利用 水そうの問題)**

1. 問題の内容

水が入った直方体の水槽Aがあり、一定の割合で水を排出します。水槽Aの水の高さは、排水を始めてから20分後に0 cmになります。

水槽Bは空で、給水管から毎分5cmずつ水が増えます。水槽Aから排水を始めて4分後に水槽Bへの給水を始めました。

水槽Aから排水を始めて4分後から20分後までの間で、2つの水槽の底から水面までの高さが等しくなるのは、水槽Aから排水を始めてから何分後かを求める過程を説明します。

2. 解き方の手順

(1) 水槽Aの水の高さは、最初は60cmで、20分後に0cmになるので、毎分60/20 = 3cmずつ減ります。

したがって、水槽Aから排水を始めて$x$分後の水の高さ$y_A$は、$y_A = -3x + 60$ で表されます。

(2) 水槽Bへの給水を始めたのは、水槽Aから排水を始めて4分後なので、それ以降の時間を$t$分とします。

このとき、水槽Bの水の高さ$y_B$は、$y_B = 5t$ で表されます。

水槽Aから排水を始めて4分後の水槽Bへの給水を開始したことを考慮すると、水槽Aから排水を始めて$x$分後の水の高さ$y_A$は、

$y_A = -3x + 60$ (ただし、$4 \leq x \leq 20$)

水槽Bへの給水開始後$t$分後の水槽Bの水の高さ$y_B$は、$y_B = 5t$.

$t = x - 4$ なので、$y_B = 5(x-4) = 5x - 20$

2つの水槽の高さが等しくなるとき、$y_A = y_B$ なので、

$-3x + 60 = 5x - 20$

$8x = 80$

$x = 10$

したがって、水槽Aから排水を始めて10分後に、2つの水槽の水の高さが等しくなります。

3. 最終的な答え

水槽Aから水を排出し始めてから10分後