(1) 関数 $y = |x(x-2)|$ のグラフを描く。 (2) 実数 $k$ に対して、(1)で描いたグラフと $y = k$ のグラフを利用して、方程式 $|x(x-2)| = k$ の実数解の個数を調べる。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = |x(x-2)|$ のグラフを描く。

(2) 実数 $k$ に対して、(1)で描いたグラフと $y = k$ のグラフを利用して、方程式 $|x(x-2)| = k$ の実数解の個数を調べる。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = |x(x-2)|$ のグラフを描く。

まず、$y = x(x-2)$ のグラフを描く。これは下に凸な放物線で、$x$軸との交点は $x = 0$ と $x = 2$ である。頂点の $x$ 座標は $x = \frac{0+2}{2} = 1$ であり、$y$ 座標は $y = 1(1-2) = -1$ である。したがって、頂点の座標は $(1, -1)$ である。

次に、$y = |x(x-2)|$ のグラフを描く。これは、$y = x(x-2)$ のグラフの $y < 0$ の部分を $x$ 軸に関して対称に折り返したものである。したがって、$y = |x(x-2)|$ のグラフは、$x = 0$ と $x = 2$ で $x$ 軸と交わり、頂点の座標は $(1, 1)$ である。

(2) 方程式 $|x(x-2)| = k$ の実数解の個数を調べる。

方程式 $|x(x-2)| = k$ の実数解の個数は、$y = |x(x-2)|$ のグラフと直線 $y = k$ の交点の個数に等しい。

$y = |x(x-2)|$ のグラフを考えると、

* $k < 0$ のとき、交点は存在しないので、実数解は0個。

* $k = 0$ のとき、交点は $x = 0, 2$ の2個。

* $0 < k < 1$ のとき、交点は4個。

* $k = 1$ のとき、交点は3個。

* $k > 1$ のとき、交点は2個。

3. 最終的な答え

方程式 $|x(x-2)| = k$ の実数解の個数は次の通り。

* $k < 0$ のとき、0個

* $k = 0$ のとき、2個

* $0 < k < 1$ のとき、4個

* $k = 1$ のとき、3個

* $k > 1$ のとき、2個