不等式 $|x-1| + 2|x| \le 3$ をグラフを利用して解く。

1. 問題の内容

不等式 $|x-1| + 2|x| \le 3$ をグラフを利用して解く。

2. 解き方の手順

絶対値記号が含まれているので、場合分けをして考えます。

(i) $x < 0$ のとき、 $|x-1| = -(x-1) = -x+1$、 $|x| = -x$ より、不等式は

$(-x+1) + 2(-x) \le 3$

$-x+1-2x \le 3$

$-3x \le 2$

$x \ge -\frac{2}{3}$

よって、$-\frac{2}{3} \le x < 0$

(ii) $0 \le x < 1$ のとき、 $|x-1| = -(x-1) = -x+1$、 $|x| = x$ より、不等式は

$(-x+1) + 2x \le 3$

$x+1 \le 3$

$x \le 2$

よって、$0 \le x < 1$

(iii) $x \ge 1$ のとき、 $|x-1| = x-1$、 $|x| = x$ より、不等式は

$(x-1) + 2x \le 3$

$3x-1 \le 3$

$3x \le 4$

$x \le \frac{4}{3}$

よって、$1 \le x \le \frac{4}{3}$

(i), (ii), (iii)より、解は$-\frac{2}{3} \le x \le \frac{4}{3}$となります。

または、$y=|x-1|+2|x|$のグラフを描画し、$y \le 3$となる$x$の範囲を求めることでも解けます。

x<0のとき、$y=-x+1-2x=-3x+1$

$0 \le x < 1$のとき、$y=-x+1+2x=x+1$

$x \ge 1$のとき、$y=x-1+2x=3x-1$

$y=-3x+1$と$y=3$の交点は $-3x+1=3$, $-3x=2$, $x=-\frac{2}{3}$

$y=x+1$と$y=3$の交点は$x+1=3$, $x=2$, しかし$0 \le x < 1$の範囲ではないので除外

$y=3x-1$と$y=3$の交点は$3x-1=3$, $3x=4$, $x=\frac{4}{3}$

したがって、$-\frac{2}{3} \le x \le \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{3} \le x \le \frac{4}{3}$