2次関数 $y = x^2 - 2(a-1)x - 4a + 9$ について、以下の問いに答えます。 (1) グラフがx軸と接するような $a$ の値を求め、そのときの接点の座標を求めます。 (2) ある $a$ の値において、2次不等式 $f(x) \le 0$ および $f(x) > 0$ の解を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2(a-1)x - 4a + 9$ について、以下の問いに答えます。

(1) グラフがx軸と接するような $a$ の値を求め、そのときの接点の座標を求めます。

(2) ある $a$ の値において、2次不等式 $f(x) \le 0$ および $f(x) > 0$ の解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) グラフがx軸と接するのは、判別式 $D$ が0となるときです。

$D = (-2(a-1))^2 - 4(1)(-4a+9) = 4(a^2-2a+1) + 16a - 36 = 4a^2+8a-32 = 4(a^2+2a-8) = 4(a+4)(a-2) = 0$

より、$a=-4$ または $a=2$ です。

$a=-4$ のとき、$y = x^2 - 2(-4-1)x -4(-4) + 9 = x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$

よって、接点の座標は $(-5, 0)$ です。

$a=2$ のとき、$y = x^2 - 2(2-1)x -4(2) + 9 = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

よって、接点の座標は $(1, 0)$ です。

(2) $a=-4$ のとき、$f(x) = (x+5)^2$ とすると、$f(x) \le 0$ の解は $x=-5$ のみです。

$f(x)>0$ の解は $x \ne -5$ となるすべての実数です。

3. 最終的な答え

オ: -4

カキ: 2

ク: -5

ケコ: 1

サ: ②

シ: ①