問題は2つのパートに分かれています。 パートIでは、連立不等式 $x^2 + y^2 \le 2(x+y)$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ で表される領域 $D$ を考えます。 まず、$y - ax$ の最大値が 2 となるような $a$ の範囲を求めます。 次に、$a < 0$ のとき、$y - ax$ の最大値を $a$ の式で表します。 パートIIでは、 (1) すべての実数 $x, y$ に対して $x^2 + y^2 + 2axy + 2bx + 1 \ge 0$ が成り立つとき、実数 $a, b$ が満たすべき条件を求め、その条件を満たす点 $(a, b)$ のなす領域を座標平面上に図示します。 (2) (1) の領域を点 $(a, b)$ が動くとき、$a^2 + b$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。

パートIでは、連立不等式 $x^2 + y^2 \le 2(x+y)$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ で表される領域 $D$ を考えます。

まず、$y - ax$ の最大値が 2 となるような $a$ の範囲を求めます。

次に、$a < 0$ のとき、$y - ax$ の最大値を $a$ の式で表します。

パートIIでは、

(1) すべての実数 $x, y$ に対して $x^2 + y^2 + 2axy + 2bx + 1 \ge 0$ が成り立つとき、実数 $a, b$ が満たすべき条件を求め、その条件を満たす点 $(a, b)$ のなす領域を座標平面上に図示します。

(2) (1) の領域を点 $(a, b)$ が動くとき、$a^2 + b$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

パートI

まず、領域 $D$ を図示します。$x^2 + y^2 \le 2(x+y)$ は $(x-1)^2 + (y-1)^2 \le 2$ と変形できるので、これは中心が $(1, 1)$、半径が $\sqrt{2}$ の円の内部（境界を含む）を表します。また、$x \ge 0$, $y \ge 0$ より、領域 $D$ はこの円の内部で、かつ第1象限にある部分です。

$y - ax = k$ とおくと、$y = ax + k$ となります。これは傾き $a$、切片 $k$ の直線を表します。$y - ax$ の最大値が 2 となるのは、$k$ の最大値が 2 となるときです。

(1) $y - ax$ の最大値が 2 となるような $a$ の範囲を求めます。$y=ax+2$ が領域Dと接するときに$a$は最小になる。中心と直線の距離が半径と等しくなる条件から$a$が求まる。

(2) $a < 0$ のとき、$y - ax$ の最大値を $a$ の式で表します。これは領域 $D$ の境界上で、$y - ax$ が最大となる点を調べます。$a$が負なので、$x$が小さく、$y$が大きい点（円弧の$y$軸に近い方の端）で最大になる可能性がある。

パートII

(1) すべての実数 $x, y$ に対して $x^2 + y^2 + 2axy + 2bx + 1 \ge 0$ が成り立つ条件を求めます。これは、$x^2 + 2(ay+b)x + (y^2 + 1) \ge 0$ と変形できます。この $x$ の2次式が常に0以上であるためには、判別式 $D \le 0$ である必要があります。

$D/4 = (ay+b)^2 - (y^2+1) = (a^2-1)y^2 + 2aby + (b^2-1) \le 0$

この不等式がすべての実数 $y$ に対して成り立つためには、$a^2 - 1 < 0$ かつ判別式 $\Delta \le 0$ である必要があります。

$a^2 < 1$ より $-1 < a < 1$

$\Delta/4 = (ab)^2 - (a^2-1)(b^2-1) = a^2b^2 - (a^2b^2 - a^2 - b^2 + 1) = a^2 + b^2 - 1 \le 0$

したがって、$a^2 + b^2 \le 1$

よって、求める領域は $-1 < a < 1$ かつ $a^2 + b^2 \le 1$ を満たす点 $(a, b)$ のなす領域であり、これは円 $a^2 + b^2 = 1$ の内部（境界を含む）で、かつ $-1 < a < 1$ の部分です。つまり、$a^2 + b^2 \le 1$から$a=\pm1$を除いた領域です。

(2) (1) の領域を点 $(a, b)$ が動くとき、$a^2 + b$ の最大値と最小値を求めます。$k = a^2 + b$ とおくと、$b = -a^2 + k$ となります。これを円 $a^2 + b^2 = 1$ に代入して、$a^2 + (-a^2 + k)^2 = 1$

$a^2 + a^4 - 2ka^2 + k^2 = 1$

$a^4 + (1-2k)a^2 + (k^2-1) = 0$

$a^2 = t$ とおくと、$t^2 + (1-2k)t + (k^2-1) = 0$

この $t$ に関する2次方程式が $0 \le t \le 1$ の範囲に解を持つような $k$ の範囲を求める必要があります。

$a^2 + b^2 \le 1$より、$b$の最大値は1、最小値は-1となることは明らか。

$a^2 + b = k$とおくと、$b = k - a^2$。$a^2 + b^2 \le 1$に代入すると、$a^2 + (k - a^2)^2 \le 1$。

$a^2 + k^2 - 2ka^2 + a^4 \le 1$。$a^4 + (1-2k)a^2 + k^2 - 1 \le 0$。

ここで、$a = 0$のとき、$b=k$なので、$b$が最大(1)または最小(-1)となるとき、$k=1$または$k=-1$。

$a^2 = 1$のとき、$b=0$なので、$k=1$。

3. 最終的な答え

パートI

$a$の範囲：$-1 \le a \le 3$

$a < 0$のとき、$y - ax$ の最大値：$1 + \sqrt{1 + 2a - a^2}$

パートII

(1) 領域: $-1 < a < 1$ かつ $a^2 + b^2 \le 1$

(2) 最大値: $1$ , 最小値: $-1$