$m, n$ は整数とする。命題「$n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」を証明する。

1. 問題の内容

$m, n$ は整数とする。命題「$n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」を証明する。

2. 解き方の手順

この命題を直接証明するのは難しいので、対偶を証明する。対偶は「$n$ が奇数ならば、$n^3 + 1$ は偶数である」となる。

$n$ が奇数であるとき、$n = 2k + 1$ （$k$ は整数）と表せる。このとき、

\begin{align*}

n^3 + 1 &= (2k + 1)^3 + 1 \\

&= (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) + 1 \\

&= 8k^3 + 12k^2 + 6k + 2 \\

&= 2(4k^3 + 6k^2 + 3k + 1)

\end{align*}

$4k^3 + 6k^2 + 3k + 1$ は整数なので、$n^3 + 1$ は偶数である。

したがって、$n$ が奇数ならば、$n^3 + 1$ は偶数である。これは元の命題の対偶なので、元の命題「$n^3 + 1$ が奇数ならば、$n$ は偶数である」も真である。

3. 最終的な答え

証明終わり。