ド・モアブルの公式を用いて、$(1+i)^3$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

ド・モアブルの公式を用いて、$(1+i)^3$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $1+i$ を極形式で表します。

$1+i = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とすると、

$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}$

したがって、

$1+i = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$

(2) ド・モアブルの公式を用います。ド・モアブルの公式とは、$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ に対して、$z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$ が成り立つというものです。

$(1+i)^3 = \left(\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})\right)^3$

$= (\sqrt{2})^3\left(\cos(3\cdot\frac{\pi}{4}) + i\sin(3\cdot\frac{\pi}{4})\right)$

$= 2\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$

(3) $\cos\frac{3\pi}{4}$ と $\sin\frac{3\pi}{4}$ の値を計算します。

$\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin\frac{3\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(4) 計算結果を代入します。

$(1+i)^3 = 2\sqrt{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

$= 2\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 2\sqrt{2}\cdot\left(i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

$= -2 + 2i$

3. 最終的な答え

$(1+i)^3 = -2 + 2i$