有理数 $x, y$ が与えられた等式 $(3+\sqrt{2})x + (2-3\sqrt{2})y = 12 - 7\sqrt{2}$ を満たすとき、$x$ と $y$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

有理数 $x, y$ が与えられた等式 $(3+\sqrt{2})x + (2-3\sqrt{2})y = 12 - 7\sqrt{2}$ を満たすとき、$x$ と $y$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた等式を展開し、有理数の部分と無理数の部分に分けます。

$(3+\sqrt{2})x + (2-3\sqrt{2})y = 12 - 7\sqrt{2}$

$3x + x\sqrt{2} + 2y - 3y\sqrt{2} = 12 - 7\sqrt{2}$

$(3x + 2y) + (x - 3y)\sqrt{2} = 12 - 7\sqrt{2}$

$x$ と $y$ は有理数なので、$3x + 2y$ と $x - 3y$ は有理数です。

したがって、以下の連立方程式が成り立ちます。

$3x + 2y = 12$

$x - 3y = -7$

連立方程式を解きます。

2番目の式から、$x = 3y - 7$ を得ます。これを1番目の式に代入します。

$3(3y - 7) + 2y = 12$

$9y - 21 + 2y = 12$

$11y = 33$

$y = 3$

$y = 3$ を $x = 3y - 7$ に代入します。

$x = 3(3) - 7 = 9 - 7 = 2$

したがって、$x = 2$ と $y = 3$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x = 2$

$y = 3$