与えられた4つの式を因数分解する問題です。 (1) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ (2) $2x^2+3xy-2y^2+x+7y-3$ (3) $yz^2-y^2z+2xyz-xy^2+x^2y-x^2z-xz^2$ (4) $x^4-18x^2+1$

代数学因数分解多項式
2025/7/23

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する問題です。
(1) (x1)(x3)(x5)(x7)+15(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15
(2) 2x2+3xy2y2+x+7y32x^2+3xy-2y^2+x+7y-3
(3) yz2y2z+2xyzxy2+x2yx2zxz2yz^2-y^2z+2xyz-xy^2+x^2y-x^2z-xz^2
(4) x418x2+1x^4-18x^2+1

2. 解き方の手順

(1)
(x1)(x7)(x3)(x5)+15(x-1)(x-7)(x-3)(x-5)+15と変形します。
(x28x+7)(x28x+15)+15(x^2-8x+7)(x^2-8x+15)+15
x28x=Ax^2-8x=Aと置換すると、
(A+7)(A+15)+15=A2+22A+105+15=A2+22A+120=(A+10)(A+12)(A+7)(A+15)+15=A^2+22A+105+15=A^2+22A+120=(A+10)(A+12)
(x28x+10)(x28x+12)(x^2-8x+10)(x^2-8x+12)
(x28x+10)(x2)(x6)(x^2-8x+10)(x-2)(x-6)
(2)
2x2+(3y+1)x+(2y2+7y3)2x^2+(3y+1)x+(-2y^2+7y-3)
2x2+(3y+1)x(2y1)(y3)2x^2+(3y+1)x-(2y-1)(y-3)
[2x(y3)][x+(2y1)]=(2xy+3)(x+2y1)[2x-(y-3)][x+(2y-1)]=(2x-y+3)(x+2y-1)
(3)
yz2y2z+2xyzxy2+x2yx2zxz2yz^2-y^2z+2xyz-xy^2+x^2y-x^2z-xz^2
xxについて整理する。
(yz)x2+(2yzy2z2)x+yz2y2z(y-z)x^2 + (2yz-y^2-z^2)x + yz^2 - y^2z
(yz)x2(yz)2x+yz(zy)(y-z)x^2 - (y-z)^2x + yz(z-y)
(yz)x2(yz)2xyz(yz)(y-z)x^2 - (y-z)^2x - yz(y-z)
(yz)[x2(y+z)xyz]=(yz)(xy)(x+z)(y-z)[x^2 - (y+z)x - yz] = (y-z)(x-y)(x+z)
(xy)(yz)(z+x)-(x-y)(y-z)(z+x)
(4)
x418x2+1=x4+2x2+120x2=(x2+1)2(25x)2x^4-18x^2+1=x^4+2x^2+1-20x^2=(x^2+1)^2-(2\sqrt{5}x)^2
ただし、複素数の範囲だと、x418x2+1=(x21)216x2=(x24x1)(x2+4x1)x^4-18x^2+1 = (x^2-1)^2-16x^2=(x^2-4x-1)(x^2+4x-1)

3. 最終的な答え

(1) (x28x+10)(x2)(x6)(x^2-8x+10)(x-2)(x-6)
(2) (2xy+3)(x+2y1)(2x-y+3)(x+2y-1)
(3) (xy)(yz)(z+x)-(x-y)(y-z)(z+x)
(4) (x24x1)(x2+4x1)(x^2-4x-1)(x^2+4x-1)

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