与えられた連立一次方程式を消去法で解く問題です。 (1) $x + 2y - 3z = 1$ $-2x - 3y + 4z = 0$ $2x + 5y - 8z = 4$ (2) $x - 2y + z = 3$ $-2x + y + 2z = 1$ $3x - 3y - z = 6$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を消去法で解く問題です。

(1)

$x + 2y - 3z = 1$

$-2x - 3y + 4z = 0$

$2x + 5y - 8z = 4$

(2)

$x - 2y + z = 3$

$-2x + y + 2z = 1$

$3x - 3y - z = 6$

2. 解き方の手順

**(1) の解き方**

まず、xを消去することを考えます。

1つ目の式を2倍して、3つ目の式に足し合わせます。

$2(x + 2y - 3z) + (2x + 5y - 8z) = 2(1) + 4$

$2x + 4y - 6z + 2x + 5y - 8z = 2 + 4$

$4x + 9y - 14z = 6$

次に、1つ目の式を2倍して、2つ目の式に足し合わせます。

$2(x + 2y - 3z) + (-2x - 3y + 4z) = 2(1) + 0$

$2x + 4y - 6z - 2x - 3y + 4z = 2$

$y - 2z = 2$

次に、2つ目の式をxを消去するために利用します。

1つ目の式を2倍して、2つ目の式と足します。

$2(x + 2y - 3z) + (-2x - 3y + 4z) = 2(1) + 0$

$2x + 4y - 6z -2x - 3y + 4z = 2$

$y - 2z = 2$

次に、1つ目の式を-2倍して3つ目の式と足します。

$-2(x + 2y - 3z) + (2x + 5y - 8z) = -2(1) + 4$

$-2x - 4y + 6z + 2x + 5y - 8z = 2$

$y - 2z = 2$

ここで、$y - 2z = 2$ より、$y = 2z + 2$

この式を 1つ目の式に代入します。

$x + 2(2z + 2) - 3z = 1$

$x + 4z + 4 - 3z = 1$

$x + z = -3$

$x = -z - 3$

最後に、2つ目の式に代入すると

$-2(-z - 3) - 3(2z + 2) + 4z = 0$

$2z + 6 - 6z - 6 + 4z = 0$

$0 = 0$

z は任意の実数となり不定解となります。

$z = k$ とすると、$x = -k - 3$、$y = 2k + 2$ となります。

**(2) の解き方**

まず、xを消去することを考えます。

1つ目の式を2倍して、2つ目の式に足し合わせます。

$2(x - 2y + z) + (-2x + y + 2z) = 2(3) + 1$

$2x - 4y + 2z - 2x + y + 2z = 6 + 1$

$-3y + 4z = 7$

次に、1つ目の式を-3倍して、3つ目の式に足し合わせます。

$-3(x - 2y + z) + (3x - 3y - z) = -3(3) + 6$

$-3x + 6y - 3z + 3x - 3y - z = -9 + 6$

$3y - 4z = -3$

ここで、$-3y + 4z = 7$ と $3y - 4z = -3$ を足し合わせます。

$(-3y + 4z) + (3y - 4z) = 7 + (-3)$

$0 = 4$

これは矛盾しているので、解なしです。

3. 最終的な答え

(1) $x = -k - 3$, $y = 2k + 2$, $z = k$ (kは任意の実数)

(2) 解なし