2つの数を与えられたとき、それらを解とする二次方程式を求める問題です。 (1) は $2 + \sqrt{3}$ と $2 - \sqrt{3}$ を解とする二次方程式を求めます。 (2) は $\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$ と $\frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$ を解とする二次方程式を求めます。

1. 問題の内容

2つの数を与えられたとき、それらを解とする二次方程式を求める問題です。

(1) は $2 + \sqrt{3}$ と $2 - \sqrt{3}$ を解とする二次方程式を求めます。

(2) は $\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$ と $\frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$ を解とする二次方程式を求めます。

2. 解き方の手順

二次方程式の解が $\alpha$ と $\beta$ のとき、二次方程式は $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ と表せます。

(1) $\alpha = 2 + \sqrt{3}$、$\beta = 2 - \sqrt{3}$ とすると、

$\alpha + \beta = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$

$\alpha\beta = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

よって、求める二次方程式は $x^2 - 4x + 1 = 0$ となります。

(2) $\alpha = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}$、$\beta = \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$ とすると、

$\alpha + \beta = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} + \frac{1 - \sqrt{3}i}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}i + 1 - \sqrt{3}i}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$\alpha\beta = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}i}{2} = \frac{(1 + \sqrt{3}i)(1 - \sqrt{3}i)}{4} = \frac{1 - (\sqrt{3}i)^2}{4} = \frac{1 - (3i^2)}{4} = \frac{1 - (-3)}{4} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

よって、求める二次方程式は $x^2 - x + 1 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 4x + 1 = 0$

(2) $x^2 - x + 1 = 0$