与えられた連立一次方程式 $ \begin{cases} 2x_1 - 6x_2 + x_3 = 1 \\ 3x_1 - 9x_2 - x_3 = 9 \\ -x_1 + 3x_2 + 2x_3 = -8 \end{cases} $ について、以下の問いに答える。 (1) 拡大係数行列を簡約化せよ。 (2) 係数行列を$A$とするとき、同次連立一次方程式$A\vec{x} = \vec{0}$の自明でない解を一つ求めよ。 (3) $A$の階数を求めよ。 (4) 連立一次方程式の解を全て求めよ。 (5) 係数行列$A$に対し、連立一次方程式$A\vec{x} = \vec{b}$は任意の3次の列ベクトル$\vec{b}$に対し解を持つか。理由を述べよ。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$\begin{cases} 2x_1 - 6x_2 + x_3 = 1 \\ 3x_1 - 9x_2 - x_3 = 9 \\ -x_1 + 3x_2 + 2x_3 = -8 \end{cases}$

について、以下の問いに答える。

(1) 拡大係数行列を簡約化せよ。

(2) 係数行列を$A$とするとき、同次連立一次方程式$A\vec{x} = \vec{0}$の自明でない解を一つ求めよ。

(3) $A$の階数を求めよ。

(4) 連立一次方程式の解を全て求めよ。

(5) 係数行列$A$に対し、連立一次方程式$A\vec{x} = \vec{b}$は任意の3次の列ベクトル$\vec{b}$に対し解を持つか。理由を述べよ。

2. 解き方の手順

(1) 拡大係数行列を作成し、行基本変形によって簡約化する。

拡大係数行列は

$\begin{bmatrix} 2 & -6 & 1 & 1 \\ 3 & -9 & -1 & 9 \\ -1 & 3 & 2 & -8 \end{bmatrix}$

となる。

まず1行目を1/2倍する。

$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 1/2 & 1/2 \\ 3 & -9 & -1 & 9 \\ -1 & 3 & 2 & -8 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の3倍を引く。3行目に1行目を足す。

$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & -5/2 & 15/2 \\ 0 & 0 & 5/2 & -15/2 \end{bmatrix}$

2行目を-2/5倍する。

$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 5/2 & -15/2 \end{bmatrix}$

1行目から2行目の1/2倍を引く。3行目から2行目の5/2倍を引く。

$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(2) 係数行列$A = \begin{bmatrix} 2 & -6 & 1 \\ 3 & -9 & -1 \\ -1 & 3 & 2 \end{bmatrix}$に対して、$A\vec{x} = \vec{0}$を解く。

拡大係数行列を簡約化した結果より、

$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$x_1 - 3x_2 = 0$

$x_3 = 0$

よって、$x_1 = 3x_2$、$x_3 = 0$。$x_2 = t$とおくと、$x_1 = 3t$。

$\vec{x} = \begin{bmatrix} 3t \\ t \\ 0 \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$t=1$のとき、自明でない解は$\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

(3) 簡約化された行列から、Aの階数は2である。

(4) 簡約化された拡大係数行列より、

$x_1 - 3x_2 = 2$

$x_3 = -3$

$x_2 = s$とおくと、$x_1 = 3s + 2$

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3s+2 \\ s \\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

(5) 係数行列$A$の階数が2であるため、3次の正方行列$A$は正則ではない。よって、任意の3次の列ベクトル$\vec{b}$に対して$A\vec{x} = \vec{b}$が解を持つとは限らない。なぜなら、Aの像の次元が2であるため、3次元空間全体を表現できないからである。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

(3) 2

(4) $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ (sは任意の実数)

(5) いいえ。Aの階数が3未満であるため。