与えられた複素数を極形式で表し、複素平面上に図示する。 (1) $-4-4i$ (2) $(1+\sqrt{3}i)^8$ (3) $\frac{x+iy}{x-iy}$, $x>0$, $y>0$

1. 問題の内容

与えられた複素数を極形式で表し、複素平面上に図示する。

(1) $-4-4i$

(2) $(1+\sqrt{3}i)^8$

(3) $\frac{x+iy}{x-iy}$, $x>0$, $y>0$

2. 解き方の手順

(1)

複素数 $z = -4 - 4i$ について考える。

絶対値 $|z|$ は $|z| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

偏角 $\theta$ は $\tan \theta = \frac{-4}{-4} = 1$ であり、複素数が第3象限にあることから $\theta = \frac{5\pi}{4}$

したがって、極形式は $z = 4\sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4})$

(2)

複素数 $w = 1 + \sqrt{3}i$ について考える。

絶対値 $|w|$ は $|w| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

偏角 $\phi$ は $\tan \phi = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$ であり、複素数が第1象限にあることから $\phi = \frac{\pi}{3}$

したがって、極形式は $w = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$

$(1 + \sqrt{3}i)^8 = w^8 = (2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}))^8 = 2^8 (\cos \frac{8\pi}{3} + i \sin \frac{8\pi}{3})$

$\frac{8\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi$ であるから、 $\cos \frac{8\pi}{3} = \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$, $\sin \frac{8\pi}{3} = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$2^8 = 256$ より、 $(1 + \sqrt{3}i)^8 = 256(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -128 + 128\sqrt{3}i$

極形式は $256(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})$

(3)

$z = \frac{x+iy}{x-iy}$ について考える。

分子と分母に $x+iy$ をかけると、$z = \frac{(x+iy)^2}{(x-iy)(x+iy)} = \frac{x^2 + 2ixy - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} + i \frac{2xy}{x^2 + y^2}$

$r = \sqrt{(\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2})^2 + (\frac{2xy}{x^2 + y^2})^2} = \sqrt{\frac{(x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2}{(x^2 + y^2)^2}} = \sqrt{\frac{x^4 - 2x^2y^2 + y^4 + 4x^2y^2}{(x^2 + y^2)^2}} = \sqrt{\frac{x^4 + 2x^2y^2 + y^4}{(x^2 + y^2)^2}} = \sqrt{\frac{(x^2 + y^2)^2}{(x^2 + y^2)^2}} = 1$

$\theta = \arctan(\frac{\frac{2xy}{x^2+y^2}}{\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}) = \arctan(\frac{2xy}{x^2-y^2})$

ここで、$\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ を用いると、$\theta = 2\arctan(\frac{y}{x})$となる。

極形式は $\cos(2\arctan(\frac{y}{x})) + i \sin(2\arctan(\frac{y}{x}))$

3. 最終的な答え

(1) $4\sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4})$

(2) $256(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3})$

(3) $\cos(2\arctan(\frac{y}{x})) + i \sin(2\arctan(\frac{y}{x}))$