問題は2つあります。 1つ目の問題は、次の等式を証明することです。 $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$ (画像では係数が異なっていますが、おそらく $b^2$ と $d^2$ の係数が2であることは誤りです。ここでは一般的な公式として証明します。) 2つ目の問題は、$a+b+c=0$ のとき、$a^2 - 2bc = b^2 + c^2$ を証明することです。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目の問題は、次の等式を証明することです。

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$

(画像では係数が異なっていますが、おそらく $b^2$ と $d^2$ の係数が2であることは誤りです。ここでは一般的な公式として証明します。)

2つ目の問題は、$a+b+c=0$ のとき、$a^2 - 2bc = b^2 + c^2$ を証明することです。

2. 解き方の手順

**1つ目の問題**

左辺を展開します。

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

右辺を展開します。

$(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

左辺と右辺が等しくなるため、等式は証明されました。

**2つ目の問題**

$a+b+c=0$より、$a = -b-c$です。

この値を $a^2 - 2bc$ に代入します。

$a^2 - 2bc = (-b-c)^2 - 2bc = (b+c)^2 - 2bc = b^2 + 2bc + c^2 - 2bc = b^2 + c^2$

したがって、$a^2 - 2bc = b^2 + c^2$ が証明されました。

3. 最終的な答え

**1つ目の問題**

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$は成立する

**2つ目の問題**

$a^2 - 2bc = b^2 + c^2$ は成立する