$\theta$ が鈍角で、$\tan{\theta} = -2$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\theta$ が鈍角で、$\tan{\theta} = -2$ のとき、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\tan{\theta} = -2$ より、$\theta$ は第2象限または第4象限の角である。

問題文より、$\theta$は鈍角なので、$90^\circ < \theta < 180^\circ$である。よって、$\theta$は第2象限の角である。

第2象限では、$\sin{\theta} > 0$、$\cos{\theta} < 0$となる。

$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$の関係と、$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$の関係を使う。

$\tan{\theta} = -2$なので、$\sin{\theta} = -2\cos{\theta}$である。

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$に代入して、

$(-2\cos{\theta})^2 + \cos^2{\theta} = 1$

$4\cos^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$

$5\cos^2{\theta} = 1$

$\cos^2{\theta} = \frac{1}{5}$

$\cos{\theta} = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\theta$は第2象限の角なので、$\cos{\theta} < 0$より、$\cos{\theta} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin{\theta} = -2\cos{\theta}$より、

$\sin{\theta} = -2 \times (-\frac{\sqrt{5}}{5}) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin{\theta} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos{\theta} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$