実数 $x, y$ に対して、命題 $p$ が命題 $q$ であるための必要条件、十分条件、必要十分条件のどれに当てはまるかを答える問題です。 (1) $p: 0 < x < 2$ $q: x^2 < 4$ (2) $p: x + y > 2$ かつ $xy > 1$ $q: x > 1$ かつ $y > 1$

1. 問題の内容

実数 $x, y$ に対して、命題 $p$ が命題 $q$ であるための必要条件、十分条件、必要十分条件のどれに当てはまるかを答える問題です。

(1) $p: 0 < x < 2$

$q: x^2 < 4$

(2) $p: x + y > 2$ かつ $xy > 1$

$q: x > 1$ かつ $y > 1$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$q: x^2 < 4$ を解きます。これは $-2 < x < 2$ となります。

$p \implies q$ が成り立つか確認します。$0 < x < 2$ ならば $-2 < x < 2$ は成り立つので、$p \implies q$ は真です。つまり、$p$ は $q$ であるための十分条件です。

$q \implies p$ が成り立つか確認します。$-2 < x < 2$ であっても、$0 < x < 2$ とは限りません。例えば、$x = -1$ は $-2 < x < 2$ を満たしますが、$0 < x < 2$ は満たしません。したがって、$q \implies p$ は偽です。つまり、$p$ は $q$ であるための必要条件ではありません。

以上より、$p$ は $q$ であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

(2)

$p: x + y > 2$ かつ $xy > 1$

$q: x > 1$ かつ $y > 1$

$q \implies p$ が成り立つか確認します。$x > 1$ かつ $y > 1$ ならば、$x + y > 1 + 1 = 2$ かつ $xy > 1 \cdot 1 = 1$ となるので、$x + y > 2$ かつ $xy > 1$ が成り立ちます。したがって、$q \implies p$ は真です。つまり、$q$ は $p$ であるための十分条件です。

$p \implies q$ が成り立つか確認します。

$x+y > 2$ かつ $xy > 1$ であっても $x > 1$ かつ $y > 1$ とは限りません。

例えば、$x = 0.5$ 、$y = 3.5$ とすると、$x + y = 4 > 2$ かつ $xy = 1.75 > 1$ ですが、$x = 0.5$ なので $x > 1$ を満たしません。

したがって、$p \implies q$ は偽です。つまり、$q$ は $p$ であるための必要条件ではありません。

以上より、$q$ は $p$ であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。つまり、$p$ は $q$ であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 十分条件

(2) 必要条件