**(2)** 等比数列 2, 6, 18, 54, 162, ... の一般項を求める。

## データサイエンス基礎数理 第6回

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1. 問題の内容

与えられた数列の一般項を求め、数列の和を計算し、漸化式で表す問題です。具体的には、以下の内容が含まれます。

1. **(1)** 等差数列 3, 8, 13, 18, 23, ... の一般項を求める。

**(2)** 等比数列 2, 6, 18, 54, 162, ... の一般項を求める。

2. **(1)** $\sum_{k=1}^{n} (k+2)$ を計算する。

**(2)** $\sum_{i=1}^{n} (3k^2 - k)$ を計算する。

3. **(1)** 初項 2, 公差 3, 項数 8 の等差数列の和を求める。

**(2)** 初項 1, 公比 2, 項数 7 の等比数列の和を求める。

4. **(1)** 初項から第 n 項までの和 $S_n = n^2 + 2n$ で与えられる数列の一般項を求める。

**(2)** 初項から第 n 項までの和 $S_n = 3^n - 1$ で与えられる数列の一般項を求める。

5. **(1)** 階差数列を利用して数列 4, 5, 9, 16, 26, 39, ... の一般項を求める。

**(2)** 階差数列を利用して数列 1, 4, 10, 22, 46, 94, ... の一般項を求める。

6. **(1)** 初項 4, 公差 7 の等差数列を漸化式で表す。

**(2)** 初項 5, 公比 10 の等比数列を漸化式で表す。

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2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

1. **(1)** 等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で求められます。ここで、$a_1$ は初項、$d$ は公差です。

**(2)** 等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で求められます。ここで、$a_1$ は初項、$r$ は公比です。

2. **(1)** $\sum_{k=1}^{n} (k+2) = \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 2 = \frac{n(n+1)}{2} + 2n$ と計算できます。

**(2)** $\sum_{i=1}^{n} (3k^2 - k) = 3\sum_{i=1}^{n} k^2 - \sum_{i=1}^{n} k = 3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2}$ と計算できます。

3. **(1)** 等差数列の和は $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$ で求められます。

**(2)** 等比数列の和は $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r-1}$ で求められます。

4. 数列の和 $S_n$ から一般項 $a_n$ を求めるには、$a_n = S_n - S_{n-1}$ を利用します。ただし、$n \geq 2$ であり、$a_1 = S_1$ です。

**(1)** $a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n) - ((n-1)^2 + 2(n-1)) = n^2 + 2n - (n^2 - 2n + 1 + 2n - 2) = 2n + 1$. また、$a_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) = 3$ となり、$n=1$ のときも $a_n = 2n+1$ を満たす。

**(2)** $a_n = S_n - S_{n-1} = (3^n - 1) - (3^{n-1} - 1) = 3^n - 3^{n-1} = 3^{n-1}(3-1) = 2 \cdot 3^{n-1}$. また、$a_1 = S_1 = 3^1 - 1 = 2$ となり、$n=1$ のときも $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ を満たす。

5. 階差数列を $b_n$ とすると、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ で一般項 $a_n$ が求められます。

**(1)** 階差数列は 1, 4, 7, 10, 13, ... となり、これは初項 1, 公差 3 の等差数列です。よって $b_n = 1 + (n-1)3 = 3n - 2$ です。したがって $a_n = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k-2) = 4 + 3\frac{(n-1)n}{2} - 2(n-1) = 4 + \frac{3n^2 - 3n}{2} - 2n + 2 = \frac{3n^2 - 7n + 12}{2}$

**(2)** 階差数列は 3, 6, 12, 24, 48, ... となり、これは初項 3, 公比 2 の等比数列です。よって $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$ です。したがって $a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3 \cdot 2^{k-1}) = 1 + 3\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 1 + 3\frac{2^{n-1} - 1}{2-1} = 1 + 3(2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^{n-1} - 2$

6. 漸化式は数列の隣り合う項の関係を表す式です。

**(1)** $a_1 = 4$, $a_{n+1} = a_n + 7$

**(2)** $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 10a_n$

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3. 最終的な答え

1. **(1)** $a_n = 5n - 2$

**(2)** $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

2. **(1)** $\frac{n(n+1)}{2} + 2n = \frac{n^2 + 5n}{2}$

**(2)** $\frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n)}{2} = n^2(n+1)$

3. **(1)** $S_8 = \frac{8}{2}(2(2) + (8-1)3) = 4(4 + 21) = 4(25) = 100$

**(2)** $S_7 = \frac{1(2^7 - 1)}{2-1} = 128 - 1 = 127$

4. **(1)** $a_n = 2n + 1$

**(2)** $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

5. **(1)** $a_n = \frac{3n^2 - 7n + 12}{2}$

**(2)** $a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 2$

6. **(1)** $a_1 = 4$, $a_{n+1} = a_n + 7$

**(2)** $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 10a_n$