与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 4 & -4 & p \end{pmatrix}$ が正則であるための $p$ の条件を求め、正則であるとき、逆行列 $A^{-1}$ を $p$ を用いて表す。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 4 & -4 & p \end{pmatrix}$ が正則であるための $p$ の条件を求め、正則であるとき、逆行列 $A^{-1}$ を $p$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

行列が正則であるための条件は、行列式が0でないことです。まず、行列 $A$ の行列式を計算します。

$|A| = -2(-2p - (-4)) - 3(p - 4) - 3(-4 - (-8))$

$= -2(-2p + 4) - 3(p - 4) - 3(4)$

$= 4p - 8 - 3p + 12 - 12$

$= p - 8$

行列 $A$ が正則であるためには、$|A| \neq 0$ である必要があります。

したがって、$p - 8 \neq 0$ より $p \neq 8$

次に、$A^{-1}$ を求めます。余因子行列を計算し、それを転置した行列（随伴行列）を $|A|$ で割ることで逆行列が得られます。

余因子を計算します。

$C_{11} = -2p + 4$

$C_{12} = -(p - 4) = -p + 4$

$C_{13} = -4 + 8 = 4$

$C_{21} = -(3p - 12) = -3p + 12$

$C_{22} = -2p + 12$

$C_{23} = -(-8 - 12) = 20$

$C_{31} = 3 - (-6) = 9$

$C_{32} = -(-2 - (-3)) = -1$

$C_{33} = 4 - 3 = 1$

余因子行列 $C = \begin{pmatrix} -2p+4 & -p+4 & 4 \\ -3p+12 & -2p+12 & 20 \\ 9 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

随伴行列 (余因子行列の転置) は

$adj(A) = C^T = \begin{pmatrix} -2p+4 & -3p+12 & 9 \\ -p+4 & -2p+12 & -1 \\ 4 & 20 & 1 \end{pmatrix}$

したがって、逆行列は

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{p-8} \begin{pmatrix} -2p+4 & -3p+12 & 9 \\ -p+4 & -2p+12 & -1 \\ 4 & 20 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A$ が正則であるための $p$ の条件は $p \neq 8$ である。

正則であるとき、逆行列は

$A^{-1} = \frac{1}{p-8} \begin{pmatrix} -2p+4 & -3p+12 & 9 \\ -p+4 & -2p+12 & -1 \\ 4 & 20 & 1 \end{pmatrix}$