式 $(x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)$ を展開する。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

**問題 17 (1)**

1. 問題の内容

式 $(x^2 + 9)(x + 3)(x - 3)$ を展開する。

2. 解き方の手順

まず、$(x+3)(x-3)$ を展開する。これは和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を利用する。

$$(x+3)(x-3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$$

次に、$(x^2 + 9)(x^2 - 9)$ を展開する。これも和と差の積の公式を利用する。

$$(x^2 + 9)(x^2 - 9) = (x^2)^2 - 9^2 = x^4 - 81$$

3. 最終的な答え

$x^4 - 81$

**問題 17 (2)**

1. 問題の内容

式 $(4x^2 + y^2)(2x + y)(2x - y)$ を展開する。

2. 解き方の手順

まず、$(2x+y)(2x-y)$ を展開する。これは和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を利用する。

$$(2x+y)(2x-y) = (2x)^2 - y^2 = 4x^2 - y^2$$

次に、$(4x^2 + y^2)(4x^2 - y^2)$ を展開する。これも和と差の積の公式を利用する。

$$(4x^2 + y^2)(4x^2 - y^2) = (4x^2)^2 - (y^2)^2 = 16x^4 - y^4$$

3. 最終的な答え

$16x^4 - y^4$

**問題 18 (1)**

1. 問題の内容

式 $(x+3)^2(x-3)^2$ を展開する。

2. 解き方の手順

まず、$(x+3)^2$ と $(x-3)^2$ をそれぞれ展開する。

$$(x+3)^2 = x^2 + 2(3)x + 3^2 = x^2 + 6x + 9$$

$$(x-3)^2 = x^2 - 2(3)x + 3^2 = x^2 - 6x + 9$$

次に、$(x^2 + 6x + 9)(x^2 - 6x + 9)$ を展開する。これは $(A+B)(A-B)$ の形に変形できる。

$A = x^2 + 9$, $B = 6x$ と置くと、

$(x^2 + 6x + 9)(x^2 - 6x + 9) = (x^2 + 9 + 6x)(x^2 + 9 - 6x) = (x^2 + 9)^2 - (6x)^2$

$(x^2 + 9)^2 = (x^2)^2 + 2(9)x^2 + 9^2 = x^4 + 18x^2 + 81$

$(6x)^2 = 36x^2$

したがって、

$(x^4 + 18x^2 + 81) - 36x^2 = x^4 - 18x^2 + 81$

別の解き方として、

$(x+3)^2(x-3)^2 = [(x+3)(x-3)]^2 = (x^2 - 9)^2 = (x^2)^2 - 2(9)x^2 + 9^2 = x^4 - 18x^2 + 81$

3. 最終的な答え

$x^4 - 18x^2 + 81$

**問題 18 (2)**

1. 問題の内容

式 $(3x+2y)^2(3x-2y)^2$ を展開する。

2. 解き方の手順

$(3x+2y)^2(3x-2y)^2 = [(3x+2y)(3x-2y)]^2$

$(3x+2y)(3x-2y) = (3x)^2 - (2y)^2 = 9x^2 - 4y^2$

$(9x^2 - 4y^2)^2 = (9x^2)^2 - 2(9x^2)(4y^2) + (4y^2)^2 = 81x^4 - 72x^2y^2 + 16y^4$

3. 最終的な答え

$81x^4 - 72x^2y^2 + 16y^4$