直線 $\frac{x-1}{2} = y+2 = \frac{z+1}{3}$ を、行列 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ で変換した図形の方程式を求める。

## (1)の問題

1. 問題の内容

直線 $\frac{x-1}{2} = y+2 = \frac{z+1}{3}$ を、行列 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ で変換した図形の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、変換前の点を $(x, y, z)$、変換後の点を $(x', y', z')$ とおく。変換を表す式は、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

これから、$x, y, z$ を $x', y', z'$ で表す必要がある。

連立方程式として表すと、

$x' = x + 3y + 2z$

$y' = 2x + y$

$z' = 3x + 2y - z$

この連立方程式を解いて、$x, y, z$ を $x', y', z'$ で表す。$y' = 2x+y$ より $y = y' - 2x$。これを他の式に代入する。

$x' = x + 3(y'-2x) + 2z = -5x + 3y' + 2z$

$z' = 3x + 2(y'-2x) - z = -x + 2y' - z$

したがって、

$x' + 5x - 3y' = 2z$

$z' + x - 2y' = -z$

これらを足し合わせると、

$x' + 6x - 5y' + z' = 0$

$6x = 5y' - x' - z'$

$x = \frac{5y' - x' - z'}{6}$

$y = y' - 2x = y' - 2(\frac{5y' - x' - z'}{6}) = y' - \frac{5y' - x' - z'}{3} = \frac{3y' - 5y' + x' + z'}{3} = \frac{-2y' + x' + z'}{3}$

$z = -z' -x + 2y' = -z' - \frac{5y' - x' - z'}{6} + 2y' = \frac{-6z' - 5y' + x' + z' + 12y'}{6} = \frac{x' + 7y' - 5z'}{6}$

次に、元の直線の方程式 $\frac{x-1}{2} = y+2 = \frac{z+1}{3}$ を $k$ とおくと、

$x = 2k + 1$

$y = k - 2$

$z = 3k - 1$

これらを先ほどの$x, y, z$の式に代入する。

$2k + 1 = \frac{5y' - x' - z'}{6}$

$k - 2 = \frac{-2y' + x' + z'}{3}$

$3k - 1 = \frac{x' + 7y' - 5z'}{6}$

それぞれ $k$ について解く。

$12k + 6 = 5y' - x' - z'$

$3k = \frac{5y' - x' - z'}{4} - \frac{3}{2}$

$k = \frac{-2y' + x' + z'}{3} + 2$

$18k - 6 = x' + 7y' - 5z'$

$3k = \frac{x' + 7y' - 5z'}{6} + 1$

$\frac{5y' - x' - z'}{4} - \frac{3}{2} = \frac{-2y' + x' + z'}{3} + 2$

$3(5y' - x' - z') - 18 = 4(-2y' + x' + z') + 24$

$15y' - 3x' - 3z' - 18 = -8y' + 4x' + 4z' + 24$

$23y' - 7x' - 7z' = 42$

$\frac{-2y' + x' + z'}{3} + 2 = \frac{x' + 7y' - 5z'}{6} + 1$

$2(-2y' + x' + z') + 12 = x' + 7y' - 5z' + 6$

$-4y' + 2x' + 2z' + 12 = x' + 7y' - 5z' + 6$

$x' - 11y' + 7z' = -6$

この連立方程式を解けば良い。

$23y' - 7x' - 7z' = 42$

$7x' - 77y' + 49z' = -42$

足すと

$-54y' + 42z' = 0$

$9y' = 7z'$

$y' = \frac{7}{9}z'$

$x' = 11y' - 7z' - 6 = \frac{77}{9}z' - \frac{63}{9}z' - 6 = \frac{14}{9}z' - 6$

$\frac{14}{9}z' - 6, \frac{7}{9}z'$

$\frac{14}{9}z' -6, \frac{7}{9}z', z'$

$x' = \frac{14}{7}y' - 6, y' = \frac{7}{7}z', z'$

$x' = 2y' - 6$

$x' - 2y' = -6$

3. 最終的な答え

$x - 2y = -6$

## (2)の問題

1. 問題の内容

直線 $x=2$ かつ $y+z-4=0$ を、行列 $\begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$ で変換した図形の方程式を求める。

2. 解き方の手順

変換前の点を $(x, y, z)$、変換後の点を $(x', y', z')$ とおく。変換を表す式は、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

これから、$x, y, z$ を $x', y', z'$ で表す必要がある。

連立方程式として表すと、

$x' = 3x - y - z$

$y' = -3x + y + z$

$z' = 3x + 3y + 3z$

まず $x = 2$ を代入する。

$x' = 6 - y - z$

$y' = -6 + y + z$

$z' = 6 + 3y + 3z$

$x' + y' = 0$

$z' = 6 + 3(y+z)$

$y+z = 4$ なので、$z' = 6 + 3(4) = 18$

3. 最終的な答え

$x + y = 0, z = 18$

## (3)の問題

1. 問題の内容

直線 $x-2=\frac{y-1}{5}=\frac{z+1}{3}$ を、行列 $\begin{pmatrix} 5 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -3 \\ 0 & -3 & 5 \end{pmatrix}$ で変換した図形の方程式を求める。

2. 解き方の手順

変換前の点を $(x, y, z)$、変換後の点を $(x', y', z')$ とおく。変換を表す式は、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -3 \\ 0 & -3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

これから、$x, y, z$ を $x', y', z'$ で表す必要がある。

連立方程式として表すと、

$x' = 5x - y$

$y' = -x + 2y - 3z$

$z' = -3y + 5z$

$x-2=\frac{y-1}{5}=\frac{z+1}{3}=k$ とおく

$x=k+2$

$y=5k+1$

$z=3k-1$

$x' = 5(k+2) - (5k+1) = 5k+10-5k-1 = 9$

$y' = -(k+2) + 2(5k+1) - 3(3k-1) = -k-2+10k+2-9k+3 = 3$

$z' = -3(5k+1) + 5(3k-1) = -15k-3+15k-5 = -8$

3. 最終的な答え

$x = 9, y = 3, z = -8$

## (4)の問題

1. 問題の内容

平面 $2x-y+z-3=0$ を、行列 $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ で変換した図形の方程式を求める。

2. 解き方の手順

変換前の点を $(x, y, z)$、変換後の点を $(x', y', z')$ とおく。変換を表す式は、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

これから、$x, y, z$ を $x', y', z'$ で表す必要がある。

連立方程式として表すと、

$x' = x + 3y + z$

$y' = 2x + y$

$z' = -x + y + 2z$

$y = y' - 2x$

$x' = x + 3(y' - 2x) + z = -5x + 3y' + z$

$z' = -x + (y' - 2x) + 2z = -3x + y' + 2z$

$5x = 3y' + z - x'$

$x = \frac{3y' + z - x'}{5}$

$3x = y' + 2z - z'$

$x = \frac{y' + 2z - z'}{3}$

$\frac{3y' + z - x'}{5} = \frac{y' + 2z - z'}{3}$

$9y' + 3z - 3x' = 5y' + 10z - 5z'$

$4y' - 3x' + 5z' = 7z$

$z = \frac{4y' - 3x' + 5z'}{7}$

$x = \frac{3y' + \frac{4y' - 3x' + 5z'}{7} - x'}{5} = \frac{21y' + 4y' - 3x' + 5z' - 7x'}{35} = \frac{25y' - 10x' + 5z'}{35} = \frac{5y' - 2x' + z'}{7}$

$x = \frac{5y' - 2x' + z'}{7}$

$y = y' - 2x = y' - 2\frac{5y' - 2x' + z'}{7} = \frac{7y' - 10y' + 4x' - 2z'}{7} = \frac{-3y' + 4x' - 2z'}{7}$

$z = \frac{4y' - 3x' + 5z'}{7}$

$2x - y + z - 3 = 0$

$2\frac{5y' - 2x' + z'}{7} - \frac{-3y' + 4x' - 2z'}{7} + \frac{4y' - 3x' + 5z'}{7} - 3 = 0$

$10y' - 4x' + 2z' + 3y' - 4x' + 2z' + 4y' - 3x' + 5z' - 21 = 0$

$17y' - 11x' + 9z' - 21 = 0$

$-11x' + 17y' + 9z' = 21$

3. 最終的な答え

$-11x + 17y + 9z = 21$

## (5)の問題

1. 問題の内容

平面 $x+2y-3z-5=0$ を、行列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ で変換した図形の方程式を求める。

2. 解き方の手順

変換前の点を $(x, y, z)$、変換後の点を $(x', y', z')$ とおく。変換を表す式は、

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$

これから、$x, y, z$ を $x', y', z'$ で表す必要がある。

連立方程式として表すと、

$x' = x + 2y$

$y' = 2y + z$

$z' = 2x + y + 3z$

$x = x' - 2y$

$z = y' - 2y$

$z' = 2(x' - 2y) + y + 3(y' - 2y) = 2x' - 4y + y + 3y' - 6y = 2x' + 3y' - 9y$

$9y = 2x' + 3y' - z'$

$y = \frac{2x' + 3y' - z'}{9}$

$x = x' - 2y = x' - 2\frac{2x' + 3y' - z'}{9} = \frac{9x' - 4x' - 6y' + 2z'}{9} = \frac{5x' - 6y' + 2z'}{9}$

$z = y' - 2y = y' - 2\frac{2x' + 3y' - z'}{9} = \frac{9y' - 4x' - 6y' + 2z'}{9} = \frac{-4x' + 3y' + 2z'}{9}$

$x+2y-3z-5=0$

$\frac{5x' - 6y' + 2z'}{9} + 2\frac{2x' + 3y' - z'}{9} - 3\frac{-4x' + 3y' + 2z'}{9} - 5 = 0$

$5x' - 6y' + 2z' + 4x' + 6y' - 2z' + 12x' - 9y' - 6z' - 45 = 0$

$21x' - 9y' - 6z' = 45$

$7x' - 3y' - 2z' = 15$

3. 最終的な答え

$7x - 3y - 2z = 15$