実数 $x$、自然数 $a$ に対して、集合 $P$, $Q$, $R$ が次のように定義される。 $P = \{x \mid |x - \frac{13}{2}| \ge 3 \}$, $Q = \{x \mid x^2 + 18x + 79 \ge 0 \}$, $R = \{x \mid |x| \le \frac{a}{2} \}$ $P \cap Q \subset R$ を満たす $a$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x$、自然数 $a$ に対して、集合 $P$, $Q$, $R$ が次のように定義される。

$P = \{x \mid |x - \frac{13}{2}| \ge 3 \}$, $Q = \{x \mid x^2 + 18x + 79 \ge 0 \}$, $R = \{x \mid |x| \le \frac{a}{2} \}$

$P \cap Q \subset R$ を満たす $a$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$P$ の範囲を求める。

$|x - \frac{13}{2}| \ge 3$ より、

$x - \frac{13}{2} \ge 3$ または $x - \frac{13}{2} \le -3$

$x \ge \frac{13}{2} + 3 = \frac{19}{2}$ または $x \le \frac{13}{2} - 3 = \frac{7}{2}$

したがって、$P = \{x \mid x \le \frac{7}{2} \text{ or } x \ge \frac{19}{2} \}$

次に、$Q$ の範囲を求める。

$x^2 + 18x + 79 \ge 0$

$(x+9)^2 - 81 + 79 \ge 0$

$(x+9)^2 \ge 2$

$x+9 \ge \sqrt{2}$ または $x+9 \le -\sqrt{2}$

$x \ge -9 + \sqrt{2}$ または $x \le -9 - \sqrt{2}$

したがって、$Q = \{x \mid x \le -9 - \sqrt{2} \text{ or } x \ge -9 + \sqrt{2} \}$

ここで、$P \cap Q$ を求める。

$P \cap Q = \{x \mid x \le -9-\sqrt{2} \text{ or } \frac{7}{2} \ge x \ge -9+\sqrt{2} \text{ or } x \ge \frac{19}{2} \}$

$|x| \le \frac{a}{2}$ より、$-\frac{a}{2} \le x \le \frac{a}{2}$

$R = \{x \mid -\frac{a}{2} \le x \le \frac{a}{2} \}$

$P \cap Q \subset R$ より、

$-9 - \sqrt{2} \ge -\frac{a}{2}$ かつ $\frac{7}{2} \ge -9 + \sqrt{2}$ （これは常に成立) かつ $\frac{19}{2} \le \frac{a}{2}$ でなくてはならない。

$-9 - \sqrt{2} \ge -\frac{a}{2}$ より、 $a \ge 18 + 2\sqrt{2} \approx 18 + 2 \times 1.414 = 18 + 2.828 = 20.828$

$\frac{19}{2} \le \frac{a}{2}$ より、$a \ge 19$

これらを満たす最小の自然数 $a$ を探す。

$a \ge 20.828$ かつ $a \ge 19$ より、$a \ge 20.828$

したがって、最小の自然数 $a$ は $21$ である。

3. 最終的な答え

21