問題30では、次の4つの式の分母を有理化する必要があります。 (1) $\frac{1}{\sqrt{5}}$ (2) $\frac{9\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$ (3) $\frac{2}{\sqrt{50}}$ (4) $\sqrt{\frac{8}{27}}$

## 問題30

1. 問題の内容

問題30では、次の4つの式の分母を有理化する必要があります。

(1) $\frac{1}{\sqrt{5}}$

(2) $\frac{9\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

(3) $\frac{2}{\sqrt{50}}$

(4) $\sqrt{\frac{8}{27}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母が$\sqrt{5}$なので、分子と分母に$\sqrt{5}$をかけます。

$$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$

(2) 分母が$\sqrt{3}$なので、分子と分母に$\sqrt{3}$をかけます。

$$\frac{9\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{7} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{21}}{3} = 3\sqrt{21}$$

(3) まず、$\sqrt{50}$を簡単にします。$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

次に、$\frac{2}{\sqrt{50}} = \frac{2}{5\sqrt{2}}$ となります。

分母が$5\sqrt{2}$なので、分子と分母に$\sqrt{2}$をかけます。

$$\frac{2}{5\sqrt{2}} = \frac{2 \times \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{5 \times 2} = \frac{2\sqrt{2}}{10} = \frac{\sqrt{2}}{5}$$

(4) まず、根号の中を簡単にします。

$\sqrt{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{27}} = \frac{\sqrt{4 \times 2}}{\sqrt{9 \times 3}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$

次に、分母が$3\sqrt{3}$なので、分子と分母に$\sqrt{3}$をかけます。

$$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3 \times 3} = \frac{2\sqrt{6}}{9}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{5}}{5}$

(2) $3\sqrt{21}$

(3) $\frac{\sqrt{2}}{5}$

(4) $\frac{2\sqrt{6}}{9}$

## 問題31

1. 問題の内容

問題31では、次の4つの式の分母を有理化する必要があります。

(1) $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$

(2) $\frac{6}{\sqrt{10} - 2}$

(3) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

(4) $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$

2. 解き方の手順

(1) 分母が$\sqrt{7} + \sqrt{3}$なので、分子と分母に$\sqrt{7} - \sqrt{3}$をかけます。

$$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{1 \times (\sqrt{7} - \sqrt{3})}{(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{7 - 3} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{4}$$

(2) 分母が$\sqrt{10} - 2$なので、分子と分母に$\sqrt{10} + 2$をかけます。

$$\frac{6}{\sqrt{10} - 2} = \frac{6 \times (\sqrt{10} + 2)}{(\sqrt{10} - 2)(\sqrt{10} + 2)} = \frac{6(\sqrt{10} + 2)}{10 - 4} = \frac{6(\sqrt{10} + 2)}{6} = \sqrt{10} + 2$$

(3) 分母が$\sqrt{5} + \sqrt{3}$なので、分子と分母に$\sqrt{5} - \sqrt{3}$をかけます。

$$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} \times (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{5 - \sqrt{15}}{5 - 3} = \frac{5 - \sqrt{15}}{2}$$

(4) 分母が$\sqrt{2} - 1$なので、分子と分母に$\sqrt{2} + 1$をかけます。

$$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{2 - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{4}$

(2) $\sqrt{10} + 2$

(3) $\frac{5 - \sqrt{15}}{2}$

(4) $3 + 2\sqrt{2}$