行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 3 \\ 0 & -6 & -4 \end{bmatrix}$ の固有値が2と-1であることを示し、$\tilde{W}(2; T_A)$ と $\tilde{W}(-1; T_A)$ を求める。ここで $\tilde{W}(\lambda; T_A)$ は一般固有空間を表す。

## 問題2

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 3 \\ 0 & -6 & -4 \end{bmatrix}$ の固有値が2と-1であることを示し、$\tilde{W}(2; T_A)$ と $\tilde{W}(-1; T_A)$ を求める。ここで $\tilde{W}(\lambda; T_A)$ は一般固有空間を表す。

2. 解き方の手順

(1) 固有値の確認：

固有方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を解く。ここで $I$ は単位行列。

$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 2-\lambda & 0 & 0 \\ 2 & 5-\lambda & 3 \\ 0 & -6 & -4-\lambda \end{bmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda) \det \begin{bmatrix} 5-\lambda & 3 \\ -6 & -4-\lambda \end{bmatrix}$

$= (2-\lambda)((5-\lambda)(-4-\lambda) - (3)(-6))$

$= (2-\lambda)(-20-5\lambda+4\lambda+\lambda^2 + 18)$

$= (2-\lambda)(\lambda^2 - \lambda - 2)$

$= (2-\lambda)(\lambda - 2)(\lambda + 1)$

$= -(\lambda - 2)^2(\lambda + 1)$

$\det(A - \lambda I) = 0$ となるのは $\lambda = 2, -1$ であるから、固有値は2と-1であることが示された。

(2) 一般固有空間 $\tilde{W}(2; T_A)$ の計算：

$(A - 2I)^k v = 0$ となるベクトル $v$ の空間を求める。まず $A - 2I$ を計算する。

$A - 2I = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 3 \\ 0 & -6 & -6 \end{bmatrix}$

$(A - 2I)^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 3 \\ 0 & -6 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 3 \\ 0 & -6 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 6 & -9 & -9 \\ -12 & 18 & 18 \end{bmatrix}$

$(A-2I)^3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 6 & -9 & -9 \\ -12 & 18 & 18 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 3 \\ 0 & -6 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -6 & 9 & 9 \\ 18 & -27 & -27 \end{bmatrix}$

線形独立な関係が1つあるので、$\text{rank}(A-2I) = 1$ であり、$\text{rank}((A-2I)^2) = 1$ である。

$(A-2I)v = 0$ の解を求める。

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 3 \\ 0 & -6 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$2x + 3y + 3z = 0$

$x = -\frac{3}{2}y - \frac{3}{2}z$

$v = \begin{bmatrix} -\frac{3}{2}y - \frac{3}{2}z \\ y \\ z \end{bmatrix} = y\begin{bmatrix} -\frac{3}{2} \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} -\frac{3}{2} \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

従って$\tilde{W}(2; T_A) = \text{span}\{\begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \}$

(3) 一般固有空間 $\tilde{W}(-1; T_A)$ の計算：

$(A + I) v = 0$ となるベクトル $v$ の空間を求める。

$A + I = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 3 \\ 0 & -6 & -3 \end{bmatrix}$

$(A+I)v = 0$を解く。

$\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 3 \\ 0 & -6 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$3x = 0 \Rightarrow x = 0$

$2x + 6y + 3z = 0 \Rightarrow 6y + 3z = 0 \Rightarrow z = -2y$

$v = \begin{bmatrix} 0 \\ y \\ -2y \end{bmatrix} = y\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$

従って$\tilde{W}(-1; T_A) = \text{span}\{\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} \}$

3. 最終的な答え

固有値: 2, -1

$\tilde{W}(2; T_A) = \text{span}\{\begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \}$

$\tilde{W}(-1; T_A) = \text{span}\{\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} \}$