この問題は、以下の内容を求めています。 1. 逆三角関数の値を求める

1. 問題の内容

この問題は、以下の内容を求めています。

1. 逆三角関数の値を求める

2. 極限を計算する

3. 関数の導関数を求める

4. 関数の接線と極値を求める

5. 積分を計算する

2. 解き方の手順

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1. 逆三角関数の値を求める**

(1) $sin^{-1}(\frac{1}{2})$: $sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}$なので、$sin^{-1}(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{6}$

(2) $cos^{-1}(-\frac{1}{2})$: $cos(\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}$なので、$cos^{-1}(-\frac{1}{2})=\frac{2\pi}{3}$

(3) $tan^{-1}(\sqrt{3})$: $tan(\frac{\pi}{3})=\sqrt{3}$なので、$tan^{-1}(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}$

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2. 極限を計算する**

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - x - 1}{x - 1}$: 分子を因数分解すると、$2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1)$なので、$\lim_{x \to 1} \frac{(2x + 1)(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3$

(2) $\lim_{x \to \infty} tan^{-1}x$: $x \to \infty$のとき、$tan^{-1}x \to \frac{\pi}{2}$

(3) $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x$: これは$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$という公式を用いる。この場合は$a = -1$なので、$e^{-1} = \frac{1}{e}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{sin(4x)}{x}$: $\lim_{x \to 0} \frac{sin(ax)}{x} = a$なので、$\lim_{x \to 0} \frac{sin(4x)}{x} = 4$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{sin^{-1}x}{x}$: これはロピタルの定理を使うか、$\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1$を用いる。ロピタルの定理を使う場合、$\lim_{x \to 0} \frac{sin^{-1}x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1/\sqrt{1 - x^2}}{1} = 1$

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3. 関数の導関数を求める**

(1) $y = 3x^2 + \sqrt{x} + \frac{1}{x}$: $y = 3x^2 + x^{\frac{1}{2}} + x^{-1}$なので、$y' = 6x + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - x^{-2} = 6x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

(2) $y = x cos^{-1}x - \sqrt{1 - x^2}$: $y' = cos^{-1}x + x(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}) - \frac{1}{2}(1 - x^2)^{-\frac{1}{2}}(-2x) = cos^{-1}x - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = cos^{-1}x$

(3) $y = \frac{log x}{x}$: $y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - log x}{x^2}$

(4) $y = sin^3(2x)$: $y' = 3sin^2(2x) \cdot cos(2x) \cdot 2 = 6sin^2(2x)cos(2x)$

(5) $y = x^x$: 両辺の対数をとると、$log y = x log x$。両辺を$x$で微分すると、$\frac{1}{y}y' = log x + x \cdot \frac{1}{x} = log x + 1$。よって、$y' = y(log x + 1) = x^x(log x + 1)$

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4. 関数の接線と極値を求める**

(1) $f(x) = e^{-x^2}$について、点(1, f(1))における接線の方程式を求める。

$f(1) = e^{-1}$

$f'(x) = e^{-x^2}(-2x) = -2xe^{-x^2}$

$f'(1) = -2e^{-1}$

接線の方程式は、$y - f(1) = f'(1)(x - 1)$なので、$y - e^{-1} = -2e^{-1}(x - 1)$。整理すると、$y = -2e^{-1}x + 3e^{-1}$

(2) $f(x) = e^{-x^2}$の極値を求める。

$f'(x) = -2xe^{-x^2}$

$f'(x) = 0$となるのは、$x = 0$のとき。

$x < 0$のとき、$f'(x) > 0$で、$x > 0$のとき、$f'(x) < 0$なので、$x = 0$で極大値をとり、極大値は$f(0) = e^0 = 1$。極小値は存在しない。

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5. 積分を計算する**

(1) $\int (2x + 1)^8 dx$: $u = 2x + 1$とおくと、$du = 2dx$より、$dx = \frac{1}{2}du$。よって、$\int (2x + 1)^8 dx = \int u^8 \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int u^8 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}u^9 + C = \frac{1}{18}(2x + 1)^9 + C$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx$: $x = 2sin\theta$とおくと、$dx = 2cos\theta d\theta$。$\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4sin^2\theta} = 2cos\theta$。よって、$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \int \frac{1}{2cos\theta} 2cos\theta d\theta = \int d\theta = \theta + C = sin^{-1}(\frac{x}{2}) + C$

(3) $\int cos^2 x dx$: $cos^2 x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$なので、$\int cos^2 x dx = \int \frac{1 + cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + cos(2x)) dx = \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}sin(2x)) + C = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}sin(2x) + C$

(4) $\int tan^{-1} x dx$: 部分積分を用いる。$u = tan^{-1} x$, $dv = dx$とおくと、$du = \frac{1}{1 + x^2} dx$, $v = x$。よって、$\int tan^{-1} x dx = x tan^{-1} x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx = x tan^{-1} x - \frac{1}{2}log(1 + x^2) + C$

(5) $\int \frac{2x + 1}{x^2 - 1} dx$: $\frac{2x + 1}{x^2 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$とおくと、$2x + 1 = A(x + 1) + B(x - 1)$。$x = 1$のとき、$3 = 2A$より、$A = \frac{3}{2}$。$x = -1$のとき、$-1 = -2B$より、$B = \frac{1}{2}$。よって、$\int \frac{2x + 1}{x^2 - 1} dx = \int (\frac{3/2}{x - 1} + \frac{1/2}{x + 1}) dx = \frac{3}{2}log|x - 1| + \frac{1}{2}log|x + 1| + C$

3. 最終的な答え

1. (1) $\frac{\pi}{6}$ (2) $\frac{2\pi}{3}$ (3) $\frac{\pi}{3}$

2. (1) $3$ (2) $\frac{\pi}{2}$ (3) $\frac{1}{e}$ (4) $4$ (5) $1$

3. (1) $6x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$ (2) $cos^{-1}x$ (3) $\frac{1 - log x}{x^2}$ (4) $6sin^2(2x)cos(2x)$ (5) $x^x(log x + 1)$

4. (1) $y = -2e^{-1}x + 3e^{-1}$ (2) 極大値1 (x=0)

5. (1) $\frac{1}{18}(2x + 1)^9 + C$ (2) $sin^{-1}(\frac{x}{2}) + C$ (3) $\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}sin(2x) + C$ (4) $x tan^{-1} x - \frac{1}{2}log(1 + x^2) + C$ (5) $\frac{3}{2}log|x - 1| + \frac{1}{2}log|x + 1| + C$